Controle Calha e Bola

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da bola com boa precisão, foram feitas três pesagens e três medições do raio e fazendo a média. A pesagem foi feita usando a balança de precisão do Laboratório de Física de próprio CEFET Divinópolis e o raio foi obtido usando o paquímetro digital do Laboratório de Protótipos também do CEFET Divinópolis.

Massa (kg) Raio (m)

1

2

3

Média

O valor do momento de inércia pode ser calculado usando a forma do momento de inércia para uma casca esférica.

(12)

(13)

Então, substituindo os parâmetros encontrados na função transferência e assumindo a gravidade como , temos:

(14)

(15)

Então, finalmente obtemos nosso modelo:

(16)

3 Validação do Modelo

O modelo linear foi validado comparando sua resposta a dois steps seguidos. Sendo o primeiro um valor de 5º e 0,7s depois, um segundo step de -10º. O resultado foi satisfatório, mostrando que o modelo obtido através das equações de Lagrange é uma boa aproximação para o sistema.

Figura 2- Validação do modelo proposto.

A partir dessa validação, pode-se inferir que é aceitável o projeto dos controladores ser feito através do modelo em questão. Ou seja, os compensadores irão fornecer um bom resultado.

No final, observamos uma falha que é proveniente do fim da zona de leitura do sensor. O que não invalida o modelo.

4 Projeto dos Controladores

A partir do modelo linear obtido, foram projetados dois controladores usando ferramentas diferentes. Devido a natureza do sistema ser de tipo 2, não havia a necessidade de desenvolver um controlador em atraso, pois como visto em sala, o mesmo realiza mudanças referentes ao estado estacionário, que está diretamente ligado à ao tipo da planta. Para tal, desenvolveu-se ambos os controladores do tipo avanço, para que atendessem os critérios de desempenho referentes ao estado transitório. Sendo o primeiro por Lugar Geométrico das Raízes e o segundo por resposta em frequência.

4.1 Projeto de avanço por Lugar Geométrico das Raízes

Para tal forma de projeto, adotou-se um tempo de acomodação de Ts ≤ 3s e Máximo Overshoot de Os ≤ 5%, como critérios de desempenho.

Figura 3- Lugar dasRaízes de G(s)

A partir de tais critérios e de fórmulas retiradas de Ogata (2009), foi calculado o fator de amortecimento de ζ = 0,69 e = 1,9324. Sendo possível assim, determinar o polo dominante de malha fechada que atende as especificações. Cujo polo é:

O controlador do tipo Avanço tem a seguinte forma:

Colocando Zo na parte real do polo dominante, precisamos de um polo Po que contribua com 2,8763º.

Fazendo os cálculos necessários, obtemos que o polo se encontra em Po = 29,3.

Por tanto, o controlador obtido foi:

Com tal compensador, obtemos um Lugar Geométrico das Raízes:

Figura 4- Lugar dasRaízes compensado

Ajustando o ganho para K = 12,7, temos o polo desejado.

Figura 5- Resposta ao Step do sistema compensado

Porém, como visto na Figura 4, com tal compensador implicou em um Overshoot muito maior do que o especificado. Fazendo que apenas a implementação dele não seja ideal. Tal efeito é denominado comportamento caudal e se da devido à proximidade do zero do compensador com o polo dominante.

Tal problema pode ser resolvido implementando um Pré-filtro, para anular os efeitos do zero e atender todas as características pedidas.

Figura 6- Step com pré-filtro

Assim, o compensador em Avanço projetado pelo Lugar Geométrico das Raízes atende ou fica bem próximo a todos os critérios de desempenhos definidos.

4.2 Projeto de avanço pela Frequência

Como as características de desempenho permanecem as mesmas, temos novamente ζ = 0,69.

Ainda segundo Ogata(2009), temos uma relação entre o fator de amortecimento e a margem de fase do sistema. Sendo assim, aplicando na fórmula, obtemos que:

MF = 74º

Então, para garantir uma margem de acerto, adicionamos 5º para realizar os devidos cálculos.

ϕ= 79º

Figura 7- Bode do sistema.

Observando o Bode do sistema, podemos inferir que o único método que pode ajudar a obter os critérios desejados é o avanço. Pois a margem de fase é zero para qualquer frequência, então deve-se adicionar fase ao sistema em questão.

Aplicando o método de Avanço pela Frequência obtemos:

Figura 8- Bode do sistema compensado.

Como visto, o compensador faz com que o sistema atenda o requisito de margem de fase.

Figura 9- Step do sistema compensado.

Como pode ser analisado na figura 8, o compensador chega próximo ao Overshoot desejado. Porém, o tempo de acomodação é quase oito vezes maior, fazendo com que tal projeto não seja ideal para o caso. Isso deve-se a não utilização do tempo de acomodação nesse método. Diferente do método visto na subseção anterior.

5 Resultados experimentais

Aplicando os controladores projetados na planta, para avaliar seu desempenho de modo empírico,