Teoria dos números - Exercícios de Divisibilidade

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08 – Mostrar que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma 3k ou 3k + 1.

Solução: De acordo com o algoritmo da divisão n = 3k’ ou n = 3k’ + 1 ou n = 3k’ + 2.

Assim,

Se n = 3k’, então : n2 = 9k’ = 3(3k’) = 3k

Se n = 3k’ + 1, então: n2 = (3k’ + 1)2 = 9k’2 + 6k’ + 1 = 3(3k’2 + 2k’) + 1 = 3k + 1.

Se n = 3k’ + 2, então, n2 = (3k’ + 2)2 = 9k’2 + 12k’ + 4 = 9k’2 + 12k’ + 3 + 1 = 3(3k’2 + 4k’ + 1) + 1 = 3k + 1.

Portanto, n2 terá uma das formas, 3k ou 3k + 1.

09 – Mostrar que o cubo de um inteiro qualquer é de uma das formas 9k, 9k + 1 ou 9k + 8.

Solução: Temos n = 3k’ ou n = 3k’ + 1 ou n = 3k’ + 2.

Se n = 3k’, então n3 = (3k’)3 = 27k’3 = 9(3k’3) = 9k.

Se n = 3k’ + 1, então n3 = (3k’ + 1)3 = (3k’)3 + 3.(3k’)2.1 + 3(3k’)12 + 13 = 27k’3 + 27k’2 + 9k’ + 1 =

= 9(3k’3 + 3k’2 + k’) + 1 = 9k + 1.

Se n = 3k’ + 2, então n3 = (3k’)3 + 3.(3k’)2.2 + 3(3k’)22 + 23 =

= 27k’3 + 54k’2 + 36k’ + 8 = 9(3k’3 + 6k’2 + 4k’) + 8 = 9k + 8.

Portanto, o cubo de um inteiro tem uma das formas: 9k, 9k + 1 ou 9k + 8.

10 – Mostrar que n(n + 1)(2n + 1)/6 é um inteiro, qualquer que seja o inteiro positivo n.

Solução: Devemos provar que 6 | n(n + 1)(2n + 1).

(1º) Qualquer que seja n (n + 1) é múltiplo de 2, ou seja 2 |n(n + 1) pois,

pelo algoritmo da divisão, n = 2k ou n = 2k + 1.

Se n = 2k, 2 | n è 2 | (n)(n + 1)

Se n = 2k + 1, temos que n + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) è

è 2 | (n + 1) è 2 | n(n + 1).

Portanto, qualquer que seja na 2 | n (n + 1) è 2 | n(n + 1)(2n + 1).

(2º) Qualquer se seja n, n = 3k ou n = 3k + 1 ou n = 3k + 2.

Se n = 3k, 3 | n è 3 | n(n + 1)(2n + 1.

Se n = 3k + 1, 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1) ⇒ 3 | (2n + 1) ⇒ 3 ! n (n + 1)(2n + 1)

Se 3 = 3k + 2, n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ 3 | (n + 1) è 3 | n(n + 1)(2n + 1).

Portanto, qualquer que seja n, 3 | n (n + 1)(2n + 1).

Se 2 | n (n + 1)(2n + 1) e 3 | n (n + 1)(2n + 1), 6 | n(n + 1)(2n + 1) pois 2 e 3 são primos entre si.

Assim, ∃ q, inteiro tal que n(n + 1)(2n + 1) = 6q è ao dividir n (n + 1)(2n + 1) por 6 , o resultado é o inteiro q. Cqd.

11 – Mostrar que se a | (2x – 3y) e se a | (4x – 5y), então a | y.

Solução:

Se a | (2x – 3y) então, existe o inteiro q, tal que (2x – 3y) = aq ⇒ 2(2x – 3y) = 2aq ⇒ 4x – 6y = 2aq. (I)

Da mesma forma, se a | (4x – 5y), existe o inteiro q’, tal que (4x – 5y) = aq’. (II)

Fazendo (II) – (I), resulta (4x – 5y) – (4x – 6y) = aq’ – 2aq ⇒ 4x – 5y – 4y + 6y = a(q’ – 2q) ⇒ y = a(q’ – 2q).

Como q’ e 2q são inteiros, (q’ – 2q) é inteiro. Portanto existe um inteiro, tal que y = ak ⇒ a | y.

12 – Sendo a e b dois inteiros quaisquer, mostrar que os inteiros a e a + 2b têm sempre a mesma paridade.

Solução: Se a é par, então a = 2q, q inteiro e a + 2b = 2q + 2b = 2(q + b) = 2k, k inteiro (soma de dois inteiros). Portanto: a + 2b é par pois 2 | (a + 2b). Assim, a e a + 2b são ambos pares, isto é têm a mesma paridade.

Se a é impar, então a = 2q + 1, q inteiro e a + 2b = 2q + 1 + 2b = 2(q + b) + 1 = 2k + 1 è a + 2b é ímpar. Portanto, a e a + 2b são ambos ímpares. Têm a mesma paridade.

De acordo com as duas únicas situações possíveis para “a”, a e a + 2b sempre terão a mesma paridade. Cqd.

13 – Sendo m e n dois inteiros quaisquer, mostrar que os inteiros m + n e m – n têm sempre a mesma paridade.

Solução: Três são as possíveis situações para m e n: (1) ambos pares; (b) ambos ímpares e (3) um par e um ímpar.

(1) Ambos pares m = 2k e n = 2k’.

Temos então:

m + n = 2k + 2k’ = 2(k + k’) ⇒ m + n é par

m – n = 2k – 2k’ = 2(k – k’) ⇒ m – n é par

(2) Ambos ímpares m = 2k + 1 e n = 2k’ + 1

Temos:

m + n = 2k + 1 + 2k’ + 1 = 2(k + k’ + 1) ⇒ m + n é par

m – n = 2k – 1 + 2k’ – 1 = 2 ( k + k’ – 2) ⇒ m – n é par

(3) Um ímpar e outro par; m = 2k + 1 e n = 2k’

Temos:

m + n = 2k + 1 + 2k’ = 2(k + k’) + 1 ⇒ m + n é ímpar.

m – n = 2k + 1 – 2k’ = 2(k – k’) + 1 ⇒ m – n é ímpar.

Assim, nas três únicas situações possíveis, m + n e m – n têm a mesma paridade.Cqd.

14 – Determinar os inteiros positivos que divididos por 17 deixam um resto igual ao quadrado do quociente.

Solução: Seja N o inteiro positivo. Pelo algoritmo da divisão e pelas condições dadas, temos:

N = 17q + q2. Como o resto é um quadrado perfeito e deve ser menor que 17, “q” só pode assumir um dos valores: 1, 2, 3 ou 4 pois seus quadrados são 1, 4, 9 e 16.

Portanto, N = 17.1 + 1 = 18, ou N = 17.2 + 4 = 38, ou N = 17.3 + 9 = 60, ou N = 17.4 + 16 = 84.

Resposta: Os inteiros positivos são: 18, 38, 60 e 84.