A VIBRAÇÃO SOB CONDIÇÕES FORÇANTES GERAIS

...

2.2. Transformadas de Laplace

Segundo Rao (2008), o método da transformada de Laplace pode ser usado para determinar a resposta de um sistema a qualquer tipo de excitação incluindo os tipos harmônicos e periódico. Esse método pode ser usado para a solução eficiente de equações diferenciais lineares, em particular as quem têm coeficientes constantes. Ele permite a conversão de equações diferenciais em equações algébricas, que são mais fáceis de manipular. As principais vantagens do método são que ele pode tratar funções descontínuas sem qualquer dificuldade particular e que leva automaticamente em conta as condições iniciais.

De acordo com a equação do movimento de base, têm-se

[pic 38]

A transformada de Laplace da equação do movimento considerando as condições iniciais nulas.

[pic 39]

Algumas propriedades da de Laplace são importantes para o desenvolvimento das questões, abaixo estão listadas algumas de acordo com Rao (2008).

[pic 40]

[pic 41]

Tabela 1: Pares de Transformadas de Laplace

Domínio de Laplace

Domínio do tempo

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Ainda segundo Rao (2008), para resolver um problema de vibração usando o método da transformada de Laplace, são necessárias algumas etapas, são elas: Escreva a equação de movimento do sistema, Transforme cada termo da equação usando condições iniciais conhecidas, resolva para a resposta transformada do sistema, obtenha a solução desejada (resposta) usando transformação inversa de Laplace. Algumas outras propriedades e pares de transformadas de Laplace, além das que estão mostradas na Tabela 1, estão em anexo.

3. Desenvolvimento analítico

3.1 – Determine o deslocamento do reservatório de água mostrado na Figura 1 sob a força periódica mostrada na Figura 2 tratando-o como um sistema não amortecido com um grau de liberdade.

[pic 46]

Figura 1: Reservatório de água (Fonte: RAO,2008).

[pic 47]

Figura 2.

Resposta:

De acordo com a Figura 2, [pic 48]

Logo,

[pic 49]

De acordo com a Equação 19, e a Figura 1

[pic 50]

Razão de frequências “r”, Equação 17

[pic 51]

A equação da reta para o intervalo 0

F(t) = 16000t

Logo,

[pic 52]

Aplicando então a série de Fourier

Cálculo de ao, Equação 2

[pic 53]

[pic 54]

Cálculo de an, Equação 3

[pic 55]

Utilizando a propriedade da Integral por partes o valor de an pode ser encontrado.

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

Substituindo

[pic 59]

[pic 60]

Logo para n = 1,2,3..

[pic 61]

Cálculo de bn, Equação 4

[pic 62]

Utilizando novamente a propriedade da Integral por partes o valor de bn pode ser encontrado.

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

Logo, para n = 1, 2,3,..

[pic 68]

Logo, de acordo com a Equação 1

[pic 69]

[pic 70]

Considerando somente as três primeiras harmônicas a força pode ser aproximada em:

[pic 71]

Tem-se que a solução completa é dada por, Equação 27, para regime permanente é dada por:

[pic 72]

Como o sistema é não amortecido , logo, de acordo com a Eq. 26, [pic 73][pic 74]

Desta forma

[pic 75]

Onde de acordo com os cálculos

[pic 76][pic 77]

[pic 78][pic 79]

[pic 80][pic 81]

Para n = 1,2,3 o deslocamento do sistema é:

[pic 82]

O desenvolvimento de toda a questão passo a passo, assim como o desenvolvimento das integrais da série de Fourier, se encontra no anexo.

3.2 - Um automóvel, com massa 1000kg, passa por uma Saliência na estrada cuja forma é mostrada na Figura 3. A velocidade do automóvel é de 70km/h. Se o período natural de vibração não amortecida no sentido vertical é de 1,0 segundo, determine a resposta do carro considerando-se que ele seja um sistema com amortecimento viscoso com