Matemática e Física: as equações diferenciais na Teoria da Queda dos Corpos

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F = m.a, então –m.g = m. ou = -g.[pic 10][pic 11]

Se a altura do prédio s0 e a velocidade inicial do corpo é v0, então s é determinada como no problema de valor inicial de segunda ordem:

= -g; s(0) = s0; s’(0) = v0.[pic 12]

Sendo assim, podemos reescrever a E.D.O de segunda ordem = -g, como uma E.D.O separável para a função s’: = -g; ds’ = -gdt.[pic 13][pic 14]

Daí, = -g. → s’ = -g.t+c1.[pic 15][pic 16]

Como s’(0) = v0, temos v0 = -g.0+c1. Isto é, v0 = c1 e então s’ = -g.t+v0 ou = -g.t+v0, ou ainda ds = (-g.t+v0) dt.[pic 17]

Vamos então, supor que um corpo seja lançado para baixo. Se isso acontece, então de maneira análoga temos d2s/dt2 = g. É conveniente adotarmos a direção positiva g para a aceleração no sentido do movimento.

Desse modo, de maneira análoga a anterior, fazendo todos os cálculos e trocando –g por g, obteremos s’ = ½.gt2+v0t+c2. Se para t = 0 tivermos s0 = 0, resultará c2 = 0, então

s = ½.dt2+v0t.

Conclusão:

A matemática e física sempre trabalharam juntas, e nessa breve pesquisa podemos perceber a grande importância que uma exerce sobre a outra. As duas ciências utilizam modelos físicos e conceitos matemáticos, ou vice e versa, para juntos com as técnicas de dedução com a lógica e a análise crítica explicar de modo racional as teorias de suas respectivas áreas. Esse trabalho apresentou justamente uma teoria que por meio de experimentos e técnicas se moldou ao longo do tempo.

Principais referências:

Zill, Denis G. Equações Diferenciais com aplicações em Modelagem. São Paulo: Thomson,2003.

Bonjorno, Regina F. S. Azenha. Física – 1. São Paulo: FTD, 1985.