A CONSTRUÇÃO DE APRENDIZAGEM : ETAPA II

...

[pic 12]

Então, conclui-se que ao aplicar a função modular, através de duas sentenças, é obtido uma nova função.

2.1.2 Função Potência

Funções potência são funções elementares da forma f(x) = xn, sendo tipificadas em expoente inteiro, recíproca e expoente fracionário (função radical).

No expoente inteiro, a função elementar com n inteiro, sendo positivo impar ou par, como mostra o exemplo a seguir, considerando n = 1, 2 e 3.

[pic 13]

Na função recíproca, quando o n é negativo, é fundamental levar em consideração a propriedade seguinte:

[pic 14]

Então, tem-se a função:

[pic 15]

Logo, tem-se o domínio x ≠ 0, então D = IR. Não há interceptos. Assim, têm-se os valores tabelados abaixo:

[pic 16]

[pic 17]

Nota-se que o gráfico é uma hipérbole, de imagem IR - {0}, sendo uma função impar: f(x)=-f(-x).

Na função com expoente fracionário, também conhecida como função radical, o expoente n é um numero fracionário.

Assim, se tem a função abaixo como exemplo:

[pic 18]

O domínio é IR+=[0, ∞), com interceptores (0.0). Então tem-se os valores para x, na tabela abaixo:

[pic 19]

[pic 20]

2.1.3 Função Composta

Denomina-se função composta quando de é possível fazer operações entre funções, como some, subtração e outras operações. (LIMA, JESUS e CECÍLIO, 2011).

Assim, dadas as funções f(x) e g(x), tais que:

f : A → B e g : B → C. Condição necessária para composição de funções.

g(f(x)) – h(x) = g o(xf) = g (f(x)), e tem-se: gof : A → C.

Denomina-se, então, função composta h(x) e escreve-se h(x) = gof(x), e ainda tem-se a função:

[pic 21]

Exemplificando:

Dados os conjuntos A= {-1;0;1}. B= {0;1;2} e C= {0;1;4}, considerando as funções f : A → B definida por f(x) = x+1 e g : B → C definida por g(x)=x².

[pic 22]

Como já estudado, uma função é conceituada através da análise do conjunto domínio, ou seja, o elemento x deve corresponder a um único elemento y, não sendo necessária a análise da imagem y, ou seja, do contradomínio. Entretanto, nessa função agora estudada, é necessário analisar o conjunto do contradomínio, isto é, o desenvolvimento da imagem y, surgindo, assim, a classificação desta função em sobrejetora, injetora, bijetora. (LIMA, JESUS e CECÍLIO, 2011).

Na função sobrejetora, dada uma função f de A em B, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que y = f(x). Então, se f de A em B é sobrejetora, logo o conjunto imagem de f é iguala B. (GOULART, 2008).

A seguir, para melhor entendimento, tem-se um exemplo:

Dados os conjuntos A = {-1,0,1,3} e B = {0,1,9), será determinada a função f : A → B, onde y = x² para x ∈ A e y = B.

A função representada através de diagrama:

[pic 23]

A função representada através do plano cartesiano:

[pic 24]

A função é injetora, quando dada uma função f de A em B, se para qualquer valor x1 e x2 de seu domínio, tais que x1 ≠ x2, tiver f(x) ≠ f(x2). Como por exemplo:

Dados os conjuntos A = {0,1,2} e B = {1,2,4,5}, determinar a função f : A → B, onde y = x+1 para x ∈ A e y ∈ B.

[pic 25]

Dá-se a função injetora quando as retas forem paralelas ao eixo do x e cortarem o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico. (IEZZI, DOLCE, MURAKAMI, 2004).

Na função bijetora, o mesmo autor leciona que nelas as retas paralelas ao eixo do x cortam o gráfico em um só ponto. A seguir, vê-se um exemplo para melhor entendimento:

Dados os conjuntos A = {-1,o,2} e B = {0,-1,8}, determinar a função f : A → B, onde y = x³ para x ∈ A e y ∈ B. representado por diagrama e plano cartesiano:

[pic 26] [pic 27]

2.1.4 Função Inversa

A função inversa acontece quando se inverte a ordem dos elementos, tendo uma relação inversa, ou seja, se f é uma função bijetora de A em B, a função inversa de f é a relação de B em A, representado por f -1.

Para calcular a função inversa, é necessário levar em consideração as características a seguir, como explica LIMA, JESUS e CECÍLIO (2011, p. 56):

- O domínio de f -1 como sendo igual ao conjunto imagem de f.

- O conjunto imagem de f -1 como sendo iguais ao domínio de f.

- Os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação À reta y = x, Istoé, à bissetriz do primeiro quadrante.

- Para obter a função inversa, basta permutar as variáveis x e y.

Para melhor entendimento, verifica-se o exemplo a seguir:

Função f(x) = x² de A em B. Quando representada no diagrama de flechas tem-se:

[pic 28]

Quando construído essa função de IR em IR, nota-se que se trata de uma função afim, onde a função é crescente, o gráfico é uma reta cortando eixos ordenados.

[pic 29] [pic 30]

Observe que ao inverter o sentido das flechas, obtém-se uma relação de B em A, como representado do diagrama