A Analise Combinatoria

...

Vamos colocar o n! Em função de (n-1)!

= = n[pic 10][pic 11][pic 8][pic 9]

Cuidado

As seguintes operações NÃO são válidas:

[pic 12]

Exercícios

1- Simplifique efetue.

a) = [pic 13]

b) = [pic 14]

c) = [pic 15]

d) =[pic 16]

e) = [pic 17]

f) [pic 18]

2- (UFRN) Se (x+1)! = 3(x!), então x é igual a:

a) 1

b) 4

c) 2

d) 3

e) 5

3- Identifique com v para as alternativas verdadeiras e F para as falsas.

- 10! = 8! + 2! ( )

- 0! = 0 ( )

- 1 = 0! ( )

- 10! = 2! . 5! ( )

- 8! = 6! + 2! ( )

- 7! = (9-2)! ( )

- 12! = 12.11. 10! ( )

- 6! = 4!.5. 6! ( )

Arranjo Simples

Arranjos Simples são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.

Quando os agrupamentos de um exercício de análise combinatória forem caracterizados como Arranjos simples, para calcular a quantidade de agrupamentos formados não é preciso esquematizar todos eles, basta utilizar a seguinte fórmula. A n,p = n! (n – p)![pic 19]

Onde:

n é a quantidade de elementos do conjunto. p é um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos.

Exemplo:

I - Considere o conjunto I = {a,b,c,d}: Quantos são os arranjos simples dos elementos de I, tomados dois a dois? n = 4

p = 2

A n,p = n!

(n – p)!

A 4,2 = 4! (4 – 2)!

A 4,2 = 4 . 3 . 2!

2!

A4,2 = 4 . 3

A4,2 = 12

Exercícios

1- Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 4.

2- Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhas) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família.

3- Na empresa YZK , quinze funcionários se candidataram para as vagas de gerente e vice-gerente. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita.

4- Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

5- (OSEC-SP) Uma faculdade mantém 8 cursos diferentes. No vestibular, os candidatos podem fazer opção por 3 cursos, determinando-os por ordem de preferência. Então, o número de possível de formas de optar é:

a) 6.720

b) 336

c) 520

d) 120

e) 56

6- Resolva o arranjo simples A 5,3.

Combinações Simples

Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.

Exemplo:

Em uma festa de aniversário será servido sorvete aos convidados. Serão oferecidos os sabores de morango (M), chocolate (C), baunilha (B) e ameixa (A) e o convidado deverá escolher dois entre os quatro sabores. Notemos que, não importa a ordem em que os sabores são escolhidos. Se o convidado escolher morango e chocolate {MC} será a mesma coisa que escolher chocolate e morango {CM}. Nesse caso, podemos ter escolhas repetidas, veja: {M,B} = {B,M}, {A,C} = {C,A} e assim sucessivamente. Portanto, na combinação os agrupamentos são caracterizados somente pela natureza dos elementos.

Os grupos assim obtidos são denominados combinações simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados por C4,2.

O número de combinações simples de n elementos em grupo de p elementos é dado por:

[pic 20]

C n,p = [pic 21]

C n,p (Lê se: combinação simples de n elementos tomados p a p ).

Exemplo:

Lucas vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas? Temos nove camisetas tomadas quatro a quatro.

C n,p = C 9,4 = C 9,4 = C 9,4 = C 9,4 = [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

C 9,4 = 126.[pic 32]

Exercícios

1- Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 10 meio campistas e 6 atacantes, determine