Calculo diferencial II

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18. Sejam f e g funções vetoriais da variável u, tais que [pic 34] sejam contínuas para todo valor de u. Suponha ainda que [pic 35] para todo número irracional r e [pic 36] mostre que define uma reta. Sugestão: mostre inicialmente que [pic 37] para todo número real u.

19. Se uma partícula descreve um movimento circular em torno de um eixo, então além da velocidade e aceleração linear, ela tem uma velocidade angular dada por [pic 38], onde [pic 39] define a rotação da partícula e u é um vetor unitário paralelo ao eixo, e uma aceleração angular dada por [pic 40] Suponha que uma partícula ao se movimentar em torno de um eixo, descreve uma circunferência num plano perpendicular ao eixo, mostre que:

(a) [pic 41] num ponto P qualquer da trajetória da partícula, onde [pic 42] Sugestão: considere o eixo Z, assim [pic 43] onde [pic 44] e b são constantes, define a circunferência;

(b) [pic 45] (c) [pic 46]

20. Se uma partícula de massa m e carga elétrica q, move-se num campo magnético uniforme B, descrevendo uma curva plana, com velocidade linear v e numa direção perpendicular a B, então é possível mostrar que a trajetória da partícula é uma circunferência de raio [pic 47] (veja o exemplo resolvido 2 da Extensão das Fórmulas de Frenet-Serret no texto complementar indicado no final do tópico 3 desta aula). Mostre que a velocidade angular da partícula é [pic 48] onde u é o vetor unitário no sentido de B, assim a velocidade angular independe da velocidade linear e é paralela ao vetor B.

21. Uma partícula se desloca sobre o cilindro [pic 49] e sua aceleração é perpendicular ao cilindro em cada instante. Mostre que a trajetória da partícula é uma reta, ou uma circunferência ou uma hélice cilíndrica. Sugestão: use que qualquer curva sobre o cilindro [pic 50] é definida por uma função dada por [pic 51]

22. Uma força de intensidade constante e perpendicular ao plano XY, desloca continuamente uma partícula de massa m. Supondo que a velocidade inicial da partícula é [pic 52] a partir do ponto determine a:

(a) Trajetória da partícula;

(b) Velocidade da partícula, num instante qualquer.

23. Suponha que uma força variável é aplicada continuamente para deslocar uma partícula de massa m e com velocidade em cada instante t:

(a) Então é a potência da partícula (isto é, a taxa com que é realizado o trabalho para deslocar a partícula, relativamente ao tempo) e [pic 53] é a energia cinética da partícula no instante t. Mostre que a taxa (ou a razão) de variação da energia cinética em relação ao tempo é igual a potência da partícula;

(b) Se dá a posição da partícula no instante t, então o momento da força (ou torque da força) em relação à origem é definido por e o movimento angular (ou momento angular) da partícula é definido por [pic 54] Mostre que a razão de variação do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque da força;

(c) Mostre que uma força central (isto é, uma força que atua na direção do vetor em cada instante t, assim definida por uma função do tipo [pic 55] onde f é uma função real) não produz torque.

24. A segunda lei de Kepler afirma que: se um planeta descreve uma órbita em torno do sol, o segmento de reta que vai do planeta até o sol, varre áreas iguais em intervalos iguais de tempo. Prove a segunda lei de Kepler. Sugestões:

(a) Considere a origem do sistema de coordenadas no sol. Sendo a área varrida pelo vetor do sol até o planeta no tempo t, mostre que [pic 56]

(b) Supondo que a única força envolvida no deslocamento do planeta é a atração gravitacional do sol, esta força é central. Mostre que a força gravitacional do sol não produz torque;

(c) Mostre que [pic 57] é constante.

RESPOSTAS