CAUCULO DIFERENCIAL II

...

∴ se 3cosμ = x/3 senμ = y/2 = – 2cost

Teremos:

(x/3)2 + (y/2)2 = (cosμ)2 + (senμ)2

(x/3)2 + (y/2)2 = 1 e z = 2

∴ a curva g é a interseção de superfície cilíndrica (x/3)2 + (y/2)2 = 1;

ii) ∴ g é a elipse no plano z = 2 do centro na origem de semi eixo focal 3, semi eixo normal 2 e focos no ponto (√5, 0) , conforme se mostra em gráfico:

(x/3)2 + (y/2)2 = 1[pic 40][pic 41]

[pic 42][pic 43]

[pic 44]

[pic 45][pic 46]

[pic 47][pic 48]

➔12. Prove que a curva definida por [pic 49] é uma reta.

Se x=(x,y,z), p(a1,b1,c1) e A(a,b,c);

∴ A equação paramétrica da curva f são x = a1 + at ; y = b1 + bt e z = c1 + ct , que se equivale a equação paramétrica vetorial da reta r que passou no ponto p e de direção do vetor A, definida por: (x,y,z) = (a1,b1,c1) + t(a,b,c)

∴ A curva f é uma reta que passa no ponto p(a1,b1,c1) e tem direção do vetor A(a,b,c);

➔14. Mostre que a curva parametrizada por f(t) = (1 + √2sent, 2 , 2 - √2cost) é uma circunferência. Faça a representação geométrica da circunferência.

f(t) = (1 + √2sent, 2, 2 - √2cost)

i) equações paramétricas da curva(f) são:

x = 1 + √2sent , y = 2 e z = 2 - √2cost

∴ se x - 1 = √2sent y = 2 e z - 2 = - √2cost

Teremos:

(x - 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = (√2sent)2 + 22 + (- √2cost)2

(x - 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = 2sen2t + 22 + 2cos2t

(x - 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = 4 + 2(sen2t +cos2t)

(x - 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = 6

∴ a curva f é uma circunferência de centro em (1,2,2) e raio √6;

(x - 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = 6[pic 50][pic 51]

[pic 52][pic 53]

[pic 54][pic 55]

[pic 56][pic 57]