Estudo do cálculo diferencial e integral com aplicação de softwares

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6.3. Isaac Newton 16

6.4. Isaac Barrow 20

6.5. Julius Wihelm Richard Dedekind 21

7. Aplicação de cálculos de área na engenharia civil 22

8. CONCLUSÃO 22

REFERÊNCIAS 23

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INTRODUÇÃO

Em linhas gerais são apresentados conhecimentos sobre o Cálculo diferencial e integral II de forma epistemológica histórica, abordando sobre as tecnologias utilizadas no aprendizado e sobre os assuntos pertinentes a matéria como: GeoGebra e Winplot. Também se têm as biografias de alguns Matemáticos e físicos que tiveram grandes participações no cálculo.

Pode-se perceber que nas últimas décadas o mundo tem evoluído com a grande produção de conhecimentos, com mudanças na política e economia, exatamente por que a informação está de fácil acesso para todos. Essas mudanças dependeram das instituições que se dispuseram a incentivar e melhorar o estudo através de tecnologias, facilitando o giro de informações pelo mundo. A sociedade passa a depender cada vez mais dos estudos, gerando assim grande valorização no aprendizado, fazendo da tecnologia uma grande aliada. De acordo Souza Robson.

“Desse modo, é de se esperar que a escola, tenha que “se reinventar”, se desejar sobreviver como instituição educacional. É essencial que o professor se aproprie de gama de saberes advindos com a presença das tecnologias da informação e da comunicação para que estes possam ser sistematizadas em sua prática pedagógica” (SOUSA, 2011, p. 20).

A construção desta poderosa ferramenta matemática que é o Cálculo é resultado de diversas contribuições de muitos matemáticos em diferentes períodos históricos. Cada teórico, ao seu tempo, desenvolveu novas ideias e aperfeiçoou os métodos para o estudo e a aplicação do Cálculo em diferentes áreas do conhecimento.

Assim, esse trabalho busca apresentar a contribuição de cada teórico para o desenvolvimento do estudo do cálculo até os dias atuais, quando o Cálculo Diferencial e Integral II torna-se uma ferramenta indispensável. Serão abordados conhecimentos epistemológicos - históricos sobre integrais definidas e suas aplicações como: áreas cartesianas, paramétricas e polares.

- Integral Definida

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

[pic 2]

Com . [pic 3]

O Cálculo Diferencial e Integral foi criado pelos cientistas Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). Para sistematizar as ideias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII.

A integral de Riemann:

A definição da integral utilizada atualmente deve-se ao matemático francês Augustin Lois Cauchy (1789-1857). Cauchy definiu que uma função f é o limite de uma soma infinita. Após está definição ele demonstrou algumas propriedades, e concluiu que todas as funções contínuas em um intervalo [a ,b] são integráveis.

O símbolo da integral,” ∫” , é proveniente de soma “esticado”, notação atribuída ao matemático Wilhelm Leibniz.

Segundo Stewart (2011), a integral de Riemann é uma homenagem ao matemático Bernhard Riemann (1826-1866): “A integral definida de uma função integrável pode ser aproximada com qualquer grau de precisão desejado por uma soma de Riemann.”

- Aplicações da Aréa

- Cartesiana

Seja y = f(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. O pedaço de curva do ponto A(a,f(a)) ao ponto B(b,f(b)) é chamado arco.

[pic 4]

Gráfico 1 – gráfico de uma função contínua.

Fonte: capitulo 5, UFSC, Matrede.

O comprimento de arco da curva da função y = f(x) de A(a,f(a)) até B(b,f(b)) é dado por

[pic 5].

A fórmula para o cálculo de comprimento de arco da função descrita em coordenadas cartesianas no Mathematica é dada por "Integrate[ Sqrt[1+[D[f[x],x]^2],{x,a,b}]", isto é,

[pic 6]= Integrate[ Sqrt[1+[D[f[x],x]^2],{x,a,b}].

Para calcular o comprimento de arco de uma curva, no Mathematica, inicialmente calculamos o valor da primeira derivada da função, através do comando "D". A seguir, utilizamos este resultado para calcular a integral que fornece o comprimento do arco, através do comando "Integrate".

- Paramétrica

Seja a curva das equações paramétricas t ;[pic 7][pic 8]

Onde x (t) e y (t) das funções contínuas e deriváveis .[pic 9]

Dada por A = [pic 10]

[pic 11]

- Polar

Seja f uma função contínua e não-negativa no intervalo fechado [α , β]. Seja R uma região limitada pela curva cuja equação é ρ = f(θ) e pelas retas θ = α e θ = β. Os raios .[pic 12]

Então, a região R é a que está mostrada na figura seguinte. Considere uma partição Δ de [α , β] definida por: A = [pic 13]

[pic 14]

Gráfico 2 – gráfico da curva polar entre as semirretas.

Fonte: Cálculo V1 - Munem-Foulis.

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TECNOLOGIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

A tecnologia está iminente na sociedade e está transformando as relações humanas. Logo, de acordo com Pérez Gómes (2001), a esta nova realidade se faz necessário um novo modelo de escola e, consequentemente, como ressalta Hargreaves (1998) um novo trabalho docente no ensino, isto é, a introdução da tecnologia da informação e comunicação no meio escolar. (COSTA, FIORENTINI,