Cálculo IV - Campos Vetoriais

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Essa integral indicada acima é também chamada de Integral de Linha (de Campo Vetorial) e apresenta diversas aplicações na Física e na Engenharia.

INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPO VETORIAL (Outra forma de apresentação)

Considere o campo vetorial dado pela função vetorial

F(x, y) = ( M(x, y), N(x, y) )

ou

F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) )

contínua em uma região D do espaço 2D ou 3D, respectivamente.

Sabemos que M, N e P são funções escalares de duas ou três variáveis, contínuas em D, das quais podemos calcular integrais de linha em relação à x, y ou z ao longo de uma curva limitada C, suave ou parcialmente suave e parametrizada pela função vetorial dada por

r(t) = ( x(t), y(t) ) ou r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) com t[pic 45][a, b].

Analisemos as integrais: [pic 46] que escrevemos simplesmente

[pic 47].

[pic 48]=[pic 49][pic 50] =

=[pic 51]=[pic 52] =

= [pic 53]( M(r(t)), N(r(t))) . r´ (t)dt = [pic 54]F (r (t) ) . r´ (t)dt = [pic 55]F . dr[pic 56]

pois, de r(t) = ( x(t), y(t) ) vem que [pic 57]r = r´ (t) = ( x’(t), y’(t) ), de onde

dr = r´ (t) dt = ( x’ (t), y’ (t) ) dt = ( x’(t) dt, y’(t) dt ) = (dx, dy).

Assim,

[pic 58]

Analogamente, de r(t) = (x(t), y(t), z(t)) temos [pic 59]r = r´ (t) = ( x’(t), y’(t), z’(t) ), de onde dr=r´(t)dt= ( x’(t), y’(t), z’(t) ) dt = ( x’ (t) dt, y’ (t) dt, z’(t) dt ) = (dx, dy, dz). Também,

[pic 60]

Como o produto escalar de dois vetores resulta um número (escalar) e dr = r´ (t) dt podemos calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva limitada C, suave ou parcialmente suave e parametrizada pela função vetorial r definida em um intervalo [a, b], através de uma integral definida em relação ao parâmetro t, calculada de a até b. Ou seja,

[pic 61]

Exemplo3: Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (-y, x) ao longo do triângulo de vértices A(1, 1), B(-1, 1) e C(0, -1) orientado no sentido trigonométrico.

Observe um triângulo é uma curva parcialmente suave formada pela união de 3 curvas suaves (segmentos de reta) C1, C2 e C3.[pic 62]

[pic 63]F . dr = [pic 64]F . dr +[pic 65]F . dr +[pic 66]F . dr ;

Exemplo 4: Calcule [pic 67]x2 dx + y2 dy + z2 dz sendo C o arco da hélice dado pela

função vetorial dada por r(t) = ( 4cos t, 4sen t, 8t) t[pic 68][0, 2[pic 69]] . Resposta: 4096/3 [pic 70]

Exercícios:

- Calcule [pic 71]sendo [pic 72] e C, o caminho poligonal que une o ponto A(1, 0, 0) ao ponto B(0, 2, 2), passando por D(1, 1, 0). R: 25/6

- Calcule o trabalho realizado pelo campo [pic 73] para deslocar uma partícula ao longo da semi circunferência [pic 74] no sentido anti horário. R: 0

- Calcule [pic 75] onde C é dada por y = x2 com ponto inicial (1, 1) e final (0,0).

- Como interpretar o sinal do trabalho calculado? Explique.

- O campo de velocidades de um fluido ao redor da curva fechada do plano constituída dos segmentos que unem os pontos (0, 0) a (1, 1), (1, 1) a (1, 2) e (1, 2) a (0, 0) é dado por [pic 76]. Calcule a circulação desse fluido através de C. R: 1

- Calcule[pic 77]ao longo da parábola z = x2, y = 2, do ponto A (0, 2, 0) ao ponto B (2, 2, 4). R;28

Independência do Caminho

Campos conservativos

Seja [pic 78]um campo vetorial em um domínio D e u uma função escalar, diferenciável em D tal que [pic 79]= grad u. neste caso dizemos que é um campo conservativo ou campo gradiente em D [pic 80]

e u é chamada função potencial de [pic 81].

Por exemplo [pic 82]é campo conservativo pois a função [pic 83]é diferenciável em [pic 84]e seu gradiente é [pic 85].

Como verificar se o campo é conservativo?

Sendo [pic 86], se as igualdades abaixo forem verificadas o campo será conservativo.

[pic 87] [pic 88] [pic 89]

Observe que estaremos testando através de derivadas segundas.

Exemplo 5:Verifique se o campo vetorial é conservativo e se for o caso, encontre a função potencial

a) [pic 90]

b) [pic 91]

Exemplo 6: Considere o campo de vetores [pic 92]. Calcule a integral de linha ao longo da curva:

a) C1: segmento de reta que une (1, 0) a (0,2);

b) C2: parte da parábola de equação y = -2 x 2 +2, unindo os mesmos pontos da curva C1, no mesmo sentido.

O resultado deu o mesmo 3/2, pelas curvas diferentes C1 e C2

Vamos verificar se o campo vetorial [pic 93] é conservativo.

Vemos que é e a função potencial é [pic 94]

Um campo de vetores [pic 95] é dito independente do caminho ou conservativo

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