Hidrodinâmica - Estabilidade Direcional

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Figura 1 - Movimentos da embarcação nos eixos x, y e z

[pic 1]

O que foi apresentado é apenas a visão geral dos objetivos do estudo de análise de estabilidade. A seguir será aprofundado um pouco mais sobre o assunto, com alguns critérios e condições mais específicas.

3 TEORIA DA ESTABILIDADE DIRECIONAL

3.1 Movimentos Sway e Yaw

Uma condição bastante favorável de equilíbrio é dita quando a embarcação possui a capacidade retornar a sua condição inicial sem a influência do operador, ou seja, sem a influência de fatores externos, por este motivo ao analisar a equação de comportamento em ondas, inicialmente adotaremos o termo Q(t) = 0;

[pic 2]

[pic 3]

Onde A representa a matriz de massa adicional, dependente da aceleração, B indica a matriz de amortecimento, que está diretamente relacionado com a velocidade e C é a matriz de restauração, que possui ligação com a posição.

Muito frequentemente, o problema da manobra de navio de superfície é tratado como um problema apenas de Sway e Yaw. Neste caso o Roll é desprezado. Admitindo que o centro de gravidade da embarcação coincida com a origem do sistema de coordenadas de corpo temos:

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As soluções para e correspondem a solução de equações diferenciais lineares do 2º grau, homogêneas, com coeficientes constantes. [pic 5][pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Por consequência:

[pic 9]

[pic 10]

Fazendo as substituições adequadas:

[pic 11]

Colocando o termo em evidência, obtemos:[pic 12]

[pic 13]

Quando uma matriz quadrada é inversível, ou seja, possui matriz inversa, o sistema homogêneo só admite solução trivial. Neste caso, para obtermos uma solução diferente, essa matriz não deve ser inversa. Para verificar se a matriz é singular, o seu determinante deve ser igual a zero. Simplificando essas equações e calculando o determinante tem-se como solução um polinômio característico do segundo grau:

[pic 14]

Que pode ser escrito como:

.[pic 15]

Logo os parâmetros A, B, e C serão:

-[pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Adota-se e como soluções do polinômio característico, portanto ao aplicar a teoria das equações diferenciais as soluções serão formadas pelas combinações lineares:[pic 20][pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Onde são constantes de integração.[pic 24]

Analisando as equações acima, caso as soluções do polinômio característico sejam negativas as velocidades lineares e angulares tenderão a zero com o transcorrer do tempo, significando que a trajetória do navio voltará a ser reta, pois as perturbações estariam desaparecendo, portanto para verificar se um navio é direcionalmente estável basta verificarmos se são negativos.[pic 25]

Após feito isso podemos partir para as relações de girard e analisarmos o sinal dos coeficientes , :[pic 26][pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Analisando podemos observar que este sempre será positivo, pois sendo ) e ) inércias fluidas adicionadas às inércias secas e o produto será grande e positivo, enquanto os termos são termos de acoplamento entre sway e yaw, logo são pequenos e de sinais incertos, mas pelo primeiro produto ser grande e positivo o sinal final de será positivo, portanto as condições de estabilidade se resumem a provar que , ao analisarmos os sinais , sendo positivo, então deverá ser positivo para originar quociente positivo e , , sendo positivo, então deverá ser positivo para originar quociente positivo.[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

Podemos também analisar separadamente cada parcela para verificar os sinais e confirmar a estabilidade da embarcação:

Positiva e grande[pic 46]

Positiva e grande[pic 47]

Positiva e grande[pic 48]

Positiva ou negativa e pequena[pic 49]

Positiva ou negativa e pequena[pic 50]

Negativa e grande[pic 51]

Negativa e grande[pic 52]

Positiva ou negativa e pequena, mas é comum que seja negativa (proa predomina nessa derivada).[pic 53]

Lembrando que:

[pic 54]

Nota-se que as duas primeiras e principais parcelas ao serem somadas, dará um valor muito grande e positivo, enquanto que a última será muito pequena e de sinal incerto. A terceira parcela poderá ser negativa e de valor razoavelmente grande (caso Nv seja negativo) mas nunca poderá fazer frente ao grande valor positivo da soma das duas primeiras parcelas.

Analisando assim os fatores são sempre positivos, resumindo assim a análise da estabilidade ao fator ser maior que 0:[pic 55][pic 56]

> 0[pic 57]

Ou caso o G não coincida com C:

> 0[pic 58]

Onde também é conhecido como índice de estabilidade direcional no plano horizontal.[pic 59]

3.2 Movimento linear de roll

A