A Vibração Livre sem Amortecimento a 1 Grau De Liberdade

...

equ(6)

[pic 8]

(a) (b)

Figura 4: (a) suporte da carga em vazio, (b) suporte da carga carregado

Desta forma a freqüência angular natural pode ser calculada da seguinte forma:

equ(7)

g é o valor local da aceleração da gravidade.

---------------------------------------------------------------

Na equação (7), utilizando g=9,80 m/s2, Δ em milímetros e substituindo por , obtém-se:

equ(8)

onde

Δmm : deflexão estática em milímetros........mm

fN : freqüência natural em Hertz..................Hz

Para auxiliar a determinação da freqüência natural, uma vez conhecida a deflexão estática, foi plotado o gráfico di-log, figura 5, obtido através da equação (8), onde se entra com a deflexão estática em mm e obtém-se a freqüência natural em Hz. Para uma deflexão estática de 10 mm, a freqüência obtida é de aproximadamente 5 Hz, ou seja 300 ciclos/minuto.

[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Figura 5: Freqüência natural de um corpo rígido suspenso por molas em função da deflexão estática.

---------------------------------------------------------------

Resposta no tempo do sistema em decorrência das condições iniciais

O interesse aqui é determinar o comportamento no tempo do deslocamento do corpo, figura 1, quando sujeito às seguintes condições:

e

isto é, o corpo parte da posição inicial x0 com velocidade inicial v0, tudo no instante inicial t0=0.

Para determinar as constantes arbitrárias, A e δ além da equação 3, necessita-se da sua derivada no tempo, isto é, da velocidade em função do tempo.

Substituindo as condições iniciais nas equações anteriores, obtém-se:

e

Desta forma o deslocamento do corpo em função do tempo, em se utilizando das condições iniciais estabelecidas anteriormente, passa a ser dado por:

onde

é a posição e v0 a velocidade , tudo no instante inicial t0 = 0.

---------------------------------------------------------------

Exemplos:

- Obter a equação diferencial do movimento, a freqüência angular natural e o período do sistema vibrante da figura 6; a) equacionar por forças e b) por energia.

[pic 13]

Figura 6: Corpo de massa M preso por uma mola de constante k

a) equacionamento por forças

[pic 14]

a freqüência angular natural e o período são iguais a:

[pic 15] ,

ms: milisegundo

---------------------------------------------------------------

b) equacionamento por energia

Na ausência de forças dissipativas (que dissipam energia), a soma da energia potencial, U, com a energia cinética, T, é constante; Este é o caso em estudo, pois a única força que realiza trabalho é a força elástica que é conservativa.

equ(9)

Derivando a equação (9) com relação ao tempo, obtém-se que, a soma das variações no tempo da energia cinética com a energia potencial, é nula, isto é:

equ(10)

Através da equação (10) obtém-se a equação diferencial do movimento; Para isto determinam-se as expressões da energia cinética e potencial para o caso em questão (movimento de translação de um corpo de massa M, preso a uma mola de constante k).

e

Substituindo as expressões acima na equação (10) e lembrando-se que e que , encontra-se a seguinte equação diferencial:

de onde se obtém duas equações:

e

Não considerando a equação (corpo em repouso) a equação diferencial do movimento é então:

que é , evidentemente, a mesma equação obtida pelo método de soma de forças.

2) Determinar a equação diferencial do movimento da barra da figura 7, a freqüência angular natural a) por forças(momentos de forças) e b) por energia. Considerar pequenos deslocamentos, isto é, θ[pic 16].

[pic 17][pic 18][pic 19]

Figura 7: Barra rígida articulada no ponto “o”.

a) equacionamento por forças

Trata-se do movimento de um corpo rígido em torno de um eixo fixo e como não se está interessado nas reações da articulação “o”, basta apenas a aplicação da equação de momento de força da dinâmica do corpo rígido. O diagrama de corpo livre da barra, figura 8, mostra as forças atuantes e facilita a obtenção dos torques (momentos de força) sobre a barra.

[pic 20]

Figura 8: Diagrama de corpo livre da barra

---------------------------------------------------------------

A somatória dos momentos das forças com relação ao ponto “o” é igual ao produto do momento de inércia da barra com relação ao ponto “o” pela aceleração angular da barra.

equ(11 )

Considera-se positivo os momentos que levam a barra a girar no sentido do ângulo , e negativo o contrário. Desta forma obtém-se: