EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU

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A matemática hindu ocorre entre 400 e 1200 d.C e os primeiros registros foram achados o Sulvasutras (conhecimentos teóricos necessários para construção de altares) tem também o Bakshali (manuscrito encontrado em 1881).

As equações do segundo grau surgem na matemática hindu com os sulvasutras com as formas “ax² = c” e “ax² + bx = c” sem apresentar soluções. Já o Bakhshali descreve o procedimento de solução correspondente a formula moderna, dada o nome de Bhaskara.

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta por meio da formula:

[pic 1]

2º passo: determinas as incógnitas já com o valor de delta:

[pic 2]

Fórmula de Bhaskara

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

4² – 10 * 4 + 24 = 0

16 – 40 + 24 = 0

–24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

6² – 10 * 6 + 24 = 0

36 – 60 + 24 = 0

– 24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, portanto a seguir, vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação “x² – 2x – 3 = 0” são: a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta

∆ = b² – 4 * a * c

∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)

∆ = 4 + 12

∆ = 16

2º passo

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Os resultados são: x’ = 3; e x” = –1.

Exemplo 1

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:

a = 1; b = 8; c = 16

∆ = b² – 4 * a * c

∆ = 8² – 4 * 1 * 16

∆ = 64 – 64

∆ = 0

[pic 8]

[pic 9]

No exemplo 1 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

Exemplo 2

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 * a * c

∆ = 6² – 4 * 10 * 10

∆ = 36 – 400

∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

Equação de 2º Grau Incompleta

Toda equação do tipo ax² + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números reais, sendo que a ≠ 0, é chamada de equação do 2º grau. Toda equação do 2º grau em que os coeficientes a e b assumem valores iguais a zero, que no caso é considerada uma equação incompleta de 2º grau. (b = 0 e c = 0)

Exemplos:

x² + 2x +8 = 0 (equação completa, a = 1, b = 2 e c = 8)

2x² + 2x = 0 (equação incompleta, c = 0)

x² - 9 = 0 (equação incompleta, b = 0).

Quando pensamos resolver uma equação de 2° grau, logo nos vem a mente que precisamos utilizar a fórmula de Bhaskara (serve para resolver toda equação de 2º grau completa ou incompleta), mas em alguns casos é possível utilizar métodos mais simples e rápidos.

Quando b=0:

Para que seja possível resolver uma equação de 2º incompleta quando b for =0 veja o exemplo: 2x²=200=0

1) isole c: 2x²=200;

2) isole x²: x²=200/2 → x²=100;

3) extraia a raiz de ambos os