Mecânica dos Solidos

...

- Caso 3 temos valores de exemplo R= 3 C = 4 e L = 2. x(t) = 5u(t) ⬄ x(s) = [pic 33]

H(S) = = [pic 34][pic 35]

Yesn(s) = H(S)X(S) = [pic 36][pic 37]

Pólos de H(S) = (+-1 - j)[pic 38][pic 39]

Pólo de X(S) = 0

Expandindo em frações parciais:

Yesn(s) = = + [pic 40][pic 41][pic 42]

Coeficiente A:

A = sYesn(s) = |s=0 = 5[pic 43]

B e C:

Yesn(s) = [ + ][pic 44][pic 45][pic 46]

= [ + Bs + C] [pic 47][pic 48]

Substituindo o valor de s= (-1-j)[pic 49][pic 50]

= [ ( + B + C[pic 51][pic 52][pic 53]

(-0.20833+j1.755) = (-0.20833 – j1.755) + 0.41667 + (-0.20833 +j1.755) +[pic 54]

(-0.20833+j1.755) + 0.41667 -041667 = [pic 55]

(-0.20833+j1.755) = + C - => = 1.755[pic 56][pic 57][pic 58]

Logo B = -5 e C = -[pic 59]

Yesn(s) = - , usando a linha 10d ta tabela da Transformada de Laplace:[pic 60][pic 61]

= [pic 62][pic 63]

Então C = e a = [pic 64][pic 65]

Temos que b = = , portanto:[pic 66][pic 67]

Yesn(t) = 5 – 5e-t/24 *[cos() + sen(]u(t)[pic 68][pic 69][pic 70]

Como podemos ver, plotando esta expressão no matlab:

[pic 71]

Figura 6 - Código MatLab

Obtemos o gráfico:

[pic 72]

Figura 7 - Plot Matlab

Que está de acordo com o grafico obtido atraves do simulink:

[pic 73]

Figura 8 – Simulink

- Caso 3 temos valores de exemplo R= 3 C = 4 e L = 2.

x(t) = cos(wt)u(t) ⬄ x(s) = [pic 74]

Y(S) = H(S)X(S) = = [pic 75][pic 76]

Os pólos de H(S) estão no SPE, logo H(S) é BIBO Estável.

Temos que para a entrada x(t) = cos(wt)u(t) -> A=1 e θ = 0.

yss(t) = A|H(jw)|cos(wt + θ + ∠H(jw))

H(jw) = |H(jw)|e ∠H(jw)

- w = 0.05

H(j0.05) = = = 1.25e-j0.0416.[pic 77][pic 78]

Logo yss(t) = 1.25cos(0.05t – 0.0416)

Como podemos verificar através do Matlab e Simulink:

[pic 79]

Figura 9 - Código matlab

[pic 80]

Figura 10 - Plot Matlab

[pic 81]

Figura 11 – Simulink

- w=0.5

H(j0.5) = = = 0.948e-j2.82.[pic 82][pic 83]

Logo yss(t) = 0.948cos(0.5t – 2.82)

[pic 84]

Figura 12 - Código Matlab

[pic 85]

Figura 13 - Plot Matlab

[pic 86]

Figura 14 - Simulink(Yss(t) = azul)

- w=2

H(j2) = = = 0.032e-j3.098.[pic 87][pic 88]

Logo yss(t) = 0.032cos(2t – 3.098).

[pic 89]

Figura 15 - Código Matlab

[pic 90]

Figura 16 - Plot Matlab

[pic 91]

Figura 17 - Simulink(Yss(t) = azul)

Questão 2

(D+1)(D+2)(D+3)y(t) = (-D+1)x(t)

(D2 + 3D + 2)(D+3)y(t) = (-D+1)x(t)

(D3 + 6D2 + 11D + 6)y(t) = (-D+1)x(t)

Aplicando LaPlace nos dois lados:

ℒ[D3y(t)] + 6ℒ[D2y(t)] + 11ℒ[Dy(t)] + 6ℒ[y(t)] = - ℒ[Dx(t)] + ℒ[x(t)]

Sendo que:

y(t) ⬄ y(s) e x(t) ⬄ x(s)

Dy(t) ⬄ sy(s) – y(0-)

D2y(t) ⬄ s2y(s) – sy(0-) – y’(0-)

D3y(t) ⬄ s3y(s) – s2y(0-) – sy’(0-) – y’’(0-)

A equação no dominio da frequência fica:

(s3 + 6s2 + 11s +6)y(s) = (s2 +6s +11)y(0-) + (s + 6s)y’(0-) + y’’(0-) + (-s + 1)x(s)

y(s) = + [pic 92][pic 93]

Portanto H(S) = [pic 94]

Para condições iniciais nulas, y(s) = yesn(s)

Temos que x(t) = u(t) ⬄ x(s) = [pic 95]

y(s) = H(S)X(S) = = [pic 96][pic 97][pic 98]

Pólos de H(S) => b1 = -1, b2 = -2 e b3 = -3

Pólo de X(S) => b4 = 0

Expansão em frações parciais = = + [pic 99][pic 100][pic 101]

Determinação