CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS LINEARES DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DE SÓLIDOS

...

Tabela 2: Densidade do material obtida por diversos métodos.

Método

ρ + Δρ (g / cm3)

Δρr

Média Ponderada

2,78 + 0,04

0,014

Mínimos Quadrados

2,780 + 0,008

0,003

Observação: Os gráficos encontram-se em folha anexada.

CONCLUSÕES

A partir dos cálculos efetuados nota-se que os diferentes métodos utilizados na obtenção da densidade podem apresentar maior ou menor precisão entre si, mas todos eles levaram à conclusão de que as amostras eram feitas de alumínio (ρ = 2,6989 g / cm3 ).

Ao se comparar os três métodos, o Método dos Mínimos Quadrados foi o que se mostrou mais preciso, pois o erro associado a ele é bem menor que o associado aos outros métodos. Em contrapartida, a análise do gráfico visual foi o que se mostrou menos preciso.

• Questões Respondidas:

1) O Método dos Mínimos Quadrados possui eficiência elevada, pois minimiza os desvios em relação a reta e a certos pontos. Com isso, calculando-se o valor da inclinação da reta, podemos encontrar um valor mais preciso.

Entretanto, se num gráfico a curva possuir alguns pontos com baixo desvio e outros com alto desvio, o uso do M. M. Q. alteraria esta curva para compensar a diferença nos desvios.

2) Sabendo que o cálculo da densidade se dá por ρ = m / V, um aumento da densidade implica em uma massa elevada. Como no gráfico a massa encontra-se no eixo das abscissas (eixo x), seu aumento levaria a uma menor inclinação da reta.

3) Sendo as barras de erro limitadas pelos pontos do gráfico, são esse pontos que determinam as retas. No caso do gráfico visual os erros variam, podendo diminuir ou aumentar; no caso do gráfico obtido a partir dos cálculos do M. M. Q., os erros associados são sempre do mesmo tamanho.

4) Sabendo que Δρ = ΔV + Δm e que a massa e o volume foram diminuídos em ¼, temos:

ρ V m

Δρ1 = 4 ΔV + 4 Δm

ρ1 3 V 3 m

Δρ1 = 4 Δρ

ρ1 3 ρ

Δρ% = 4 Δρ . 100

3 ρ

Δρ% = Δρ . 400

ρ 3

APÊNDICES

• Cálculo da Média Ponderada

ρ = p1 x ρ1 + p2 x ρ2 + ... + pn x ρn

p1 + p2 + ... + pn

ρ = 25,0 x 2,7 + 100,0 x 2,8 + 100,0 x 2,9 + 400,0 x 2,75 + 25,0 x 2,8 + 100,0 x 2,8

25,0 + 100,0 + 100,0 + 400,0 + 25,0 + 100,0

ρ = 2087,5

750,0

ρ = 2,78 g / cm3

Δρ = 1

∑ pi

Δρ = 1 = 0,04

750

Erro Relativo

Δρr = Δρ

ρ

Δρ = 0,04 = 0,014 = 1,4%

2,78

• Cálculo do M. M. Q.

a = ∑ (xi – x ) yi , x = 49,82 e x 2 = 2481,70

(xi 2 – x 2)

a = - 226,56 – 216,2 – 102,3 +1099,88 – 2,16 + 534,5

- 2019,45 – 1686,46 - 632,7 + 4794,39 – 11,61 + 2587,74

a = 1087,16 = 0,36

3031,91

b = y – ax

b = 17, 87 – 0,36 ∙ 49,82

b = - 0,10

Cálculo dos desvios Δa e Δb

Δy = ∑ (axi + b – yi )2

N -2

Δy = 0,1296 + 0,0027 + 0,1444 + 0,1537 + 0,0430 + 0,2830

4

Δy = 0,44

Δa = Δy

∑(xi – xi 2)

Δa = 0,44 = 0,008

3031,91

Δb = ∑ xi 2

N ∑ (xi 2 – x 2)

Δb = 17922,11 = 0,99

6( 3031,91)

ρ = 1 = 2,78 g / cm3

a

Δρr