Hiperboloide de 2 folhas

...

[pic 5]

Na fórmula, quem está positivo possui o denominador “ c” e será o eixo de simetria. Sinal negativo acompanhando a quadratura, não intercepta o eixo. Ao redor do eixo-x.

[pic 6]

Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas com qualquer plano vertical paralelo a um dos planos coordenados x z ou y z sempre produz uma hipérbole, de equação

[pic 7] ou [pic 8]

Tomando, respectivamente, y = ± k ou x = ± k constante. Na figura, as hipérboles limites em carmim são obtidas pelos planos coordenados verticais pela origem.

O hiperbolóide elíptico de duas folhas nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis reais; no entanto, como sempre ocorrem dois cortes por retas verticais, podemos separá-lo em dois gráficos, dados pelas duas funções:

[pic 9]

As curvas de nível de cada uma destas funções aparecem ao lado: são as elipses vistas acima, dadas pelos cortes por planos horizontais. (2001-2016 Instituto de Matemática — UFRGS)

[pic 10]

EXERCÍCIOS

1º-

[pic 11]

2º

- Consideremos o hiperbolóide de duas folhas S : x²/4 − y²/b − z²/9 = 1.

- a. Calculemos o valor de b para o qual S é uma superfície de revolução.

- b. Determinemos uma geratriz e os planos que contêm as seções circulares.

Solução:

Para que S seja de revolução, devemos encontrar um candidato a eixo, isto ´e, uma reta tal que as seções de S em planos ortogonais a ela sejam círculos. Para isso, os coeficientes das duas variáveis que os determinem devem aparecer no primeiro membro da equação e serem iguais (em particular, com sinais iguais). Observando os sinais da equação, vemos que as variáveis possíveis são y e z. Portanto, o candidato a eixo de revolução é o eixo OX e b = 9, o que implica na equação

S : x²/4 − y²/ 9 − z²/9 = 1.

Substituindo x = k na equação obtemos

k²/4 – y²/9 – z²/9 = 1 ⬄ y²/9 + z²/9 = k²/4 – 1 ⬄ y²/9 – y²/9 = 9(k² - 4)/4

Portanto, somente obtemos círculos quando k – 4 > 0 , ou seja |k| > 2

b) Para obtermos uma geratriz, intersectamos S com um plano que contenha o eixo da revolução, por exemplo o plano y = 0 , que dá a hipérbole

{x²/4 – z²/9 = 1

{ y = 0

Onde se usa hiperboloides de 2 folhas

- Aparelho odontológico, cujo nome também é hiperbolóide.

- Construções e monumentos da Arquitetura.

CONCLUSÃO

Não só a hiperboloide, mas outras, tanto as desenvolvíveis quanto as não desenvolvíveis apresentam maneira de organização no nosso cotidiano e vemos números em todos os lugares, dai se vê a matemática ajudando a organizar a vida do ser humano cada vez mais.

A hiperboloide poderá ter outras futuras revoluções e aplicações, já que é uma superfície bastante peculiar.

REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO

Stephany Glaucia de Oliveira Paulo, Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas (IEMCI/UFPA).

Orientanda do Prof. Dr. João Claudio Brandemberg. Integrante do Grupo de Estudos e Pesquisa em História e Ensino da Matemática (GEHEM – IEMCI/UFPA).,José dos Santos Guimarães Filho, Graduado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade do Estado do Pará. Integrante do Grupode Estudos e Pesquisa em História e Ensino da Matemática (GEHEM – IEMCI/UFPA).

BOULOS, Paulo; Geometria analítica um trato vetorial, MAKRON Books

LEHMANN, Charles, Geometria Analítica, Editora Globo

2001-2016 Instituto de Matemática — UFRGS

ESQUINCALHA, ROBAINA e RODRIGUES, 2010, p. 3

AFONSO, 2007

CORREIA, 2013, p. 10