APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Por: YdecRupolo • 8/3/2018 • 954 Palavras (4 Páginas) • 276 Visualizações
...
[pic 42]
A equação é linear e pode ser reescrita como
[pic 43]
Para resolvê-la precisamos determinar o fator integrante
[pic 44]
Multiplicando-se a equação por obtemos[pic 45][pic 46]
[pic 47]
Substituindo-se t=0 e S-0, obtemos
[pic 48]
Ou seja, a solução do problema de valor inicial é
[pic 49]
Substituindo-se t=20 e S=40000:
[pic 50]
[pic 51]
Exemplo de aplicação 03 – Reações Químicas
Um composto C é formado da reação de duas substâncias A e B. A reação A reação ocorre de forma que para casa m gramas de A, n gramas e B são usadas. A taxa com que se obtém a substância C é proporcional tanto à quantidade de A quanto a quantidade de B não transformadas. Inicialmente havia α0 gramas de A e β0 gramas de B.
Seja α0(t) e β(t) as quantidades de A e B não transformadas, respectivamente e y(t) a quantidade de C obtida. Então
[pic 52]
Sejam a(t) e b(t) a quantidade de A e B transformadas. Então
[pic 53]
De onde se segue que
[pic 54]
Mas as quantidades de A e B não transformadas e transformadas estão relacionadas por
[pic 55]
Substituindo-se em e[pic 56][pic 57]
em obtemos[pic 58][pic 59]
[pic 60]
ou ainda,
[pic 61]
Neste caso a quantidade da substância C como função do tempo, y(t), é a solução do problema de valor inicial.
em que [pic 62][pic 63]
Se Neste caso os reagentes foram colocados em quantidades estequiométricas, ou seja, de forma que não haverá sobra de reagentes.[pic 64]
A equação é separável. Multiplicando-se a equação por obtemos[pic 65]
[pic 66]
Integrando-se em relação a t obtemos
[pic 67]
Fazendo-se a substituição obtemos[pic 68]
[pic 69]
Logo a solução da equação diferencial é dada implicitamente por
[pic 70]
Substituindo-se t=0 e y=0 na equação anterior obtemos
[pic 71]
Vamos explicitar y(t)
[pic 72]
Portanto a solução do problema de valor inicial é
[pic 73]
Substituindo-se o calor de c obtido:
[pic 74]
Observe que
[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
Se . Neste caso os reagentes foram colocados em quantidades não estequiométricas e haverá sobra de um dos reagentes.[pic 78]
A equação é separável. Multiplicando-se a equação por obtemos[pic 79]
[pic 80]
Integrando-se em relação a t obtemos
[pic 81]
Fazendo-se a substituição obtemos[pic 82]
[pic 83]
Vamos decompor em frações parciais:[pic 84]
[pic 85]
Multiplicando-se a equação acima por obtemos[pic 86]
[pic 87]
Substituindo-se e obtemos e [pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]
Assim,
[pic 92]
[pic 93]
Logo a solução da equação diferencial é dada implicitamente por
[pic 94]
Usando propriedades do logaritmo podemos reescrever como
[pic 95]
Aplicando-se a exponencial a ambos os membros e eliminando-se o valor absoluto obtemos
[pic 96]
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Substituindo-se e na equação acima obtemos[pic 97][pic 98]
[pic 99]
Vamos explicitar [pic 100]
[pic 101][pic 102]
Portanto a solução do problema de valor inicial é
[pic 103]
Substituindo-se
...