Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III

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5. Encontre o valor da constante b para que as equações a seguir sejam exatas e resolva a equação com o valor de b encontrado

a) (xy2 + bx2y ) dx + ( x + y)x2 dy = 0; b) ( ye2xy + x ) dx + bxe2xy dy = 0

6. Mostre que as equações a seguir não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator [pic 19] Resolva as equações exatas assim obtidas.

a) x2y3 + x(1 + y2) y´ = 0 [pic 20]; b) [pic 21] [pic 22]

Observação: A função [pic 23] é chamada de fator integrante ou fator de integração para a equação

7. Uma equação diferencial linear de 1a ordem se escreve na forma [pic 24]. Verifique quais das seguintes equações são lineares, identificando as funções a(x) e f(x) e resolva as equações lineares

a) y´+exy =x2y2;

b) y´ + 2y = 2ex;

c) x y´+ y + 4 = 0 ;

d) yy´ = y2 + senx

e) ( y − senx ) dx + x dy = 0 ;

f) y´ − 4y = 2x −4x2 ;

8. Resolva as equações a seguir que podem ser: variáveis separáveis, exatas ou lineares.

a) y´= x − 1 + xy − y

b) x2y´ − yx2 = y

c) (ysenx − tgx) dx + ( 1 – cosx ) dy = 0

d) xy´+ y = 2x + ex

e) (2xy + 1)dx + (x2 + 4y)dy = 0, y(1) = 1;

f) [pic 25]

Respostas

1. a) sim. b) sim. c) sim. d) sim. e) não. f) sim

2. a) y = 1 − Ce−x. b) x3 = Cy. c) [pic 26] d) [pic 27]. e) [pic 28]

f) y2 + cos(x2) = C. g) [pic 29]. h) 2 + y2 = C ( 4 + x2 ) i) y = C sen(x)

j) tg2(x) −cotg2(y) = C k) [pic 30] l) [pic 31] m) [pic 32]

n ) 2 ln(1+u) = 4t + t2 + C 0) [pic 33] p) 4 arctgy = x4 −4x2 +4lnx + C

q) (1+y2) = C(1+x2)–1 r) ln( 1+y)2 = x2 −2x + C s) [pic 34] t) lny = −1/x + x + C

3. a) y = x2/4. b) [pic 35] c) (x2 −1)(y2 +1) = 6. d) lny = cossecx – cotgx

e) [pic 36]. f) [pic 37].

4. a) não é exata; b) x2y2 +2xy = C; c) ex seny +2ycosx = C; d) e e) não são exatas;

f) ylnx+3x2 –2y = C; g) x3 − x2y +2x +2y3 + 3y = C; h) xex −ex + xy + yey −ey = C

5. a) b = 3; x2y2 + 2x3y = C; b) b = 1; e2xy + x2 = C;

6. a) x2 + lny2 − y−2 = C ; b) exseny +2ycosx = C

7. a) não é linear; b) y = (2/3)[pic 38]; c) y = [pic 39]; d) não é linear; e) [pic 40] f) y = x2+Ce4x;

8. a) ln(1+y)2 = x2 – 2x + C b) lny = −1/x + x + C; c) y – ycosx + ln(cosx) = C d) y = ( 1/x) (x2 + ex + C);

e) [pic 41]; f)[pic 42];