USO DA SOMATÓRIA EM QUESTÕES DE DIVISIBILIDADE E EM SEQUÊNCIAS
Por: YdecRupolo • 22/2/2018 • 730 Palavras (3 Páginas) • 281 Visualizações
...
.
,
q ≥ 1.
Logo, todo número ímpar maior ou igual a 1 dividi a somatória dos seus antecessores
naturais.
Afirmação 2 - Verifique se todo número par maior do que 1 dividi a diferença da somatória dos
seus antecessores naturais com sua própria metade.
Exemplo:
6 | (1+2+3+4+5) – = 15 – 3 = 12
Como 6 | 12, temos que 6 é um caso particular válido.
Solução:
Considere os números pares, como
Verificaremos se
Como ∑
|(∑
)–
, para todo q ≥ 1,
q ≥ 1, com
,
.
é igual a 1 + 2 + ... + (2q – 1), que por sua vez pode ser representada como a
somatória de uma progressão aritmética de razão +1, com
Temos que, ∑
=
[
Sendo assim, ( ∑
todo
.
(
)–
)] (
)
=
=(
)
|(∑
)–
(
–
e
)
,=
=(
) ,
q ≥ 1, com
= 2q (q – 1),
.
q ≥ 1, para
..
Por fim,
| 2q (q – 1)
Logo, todo número par maior do que 1 dividi a diferença da somatória dos seus antecessores
naturais com sua própria metade
1.2
Somatória em uma sequência por recorrência
Com base na Sequência por recorrência abaixo:
+∑
+∑
+ .... + ∑
+ ∑ ,
n ≥ 2, com
. Com
∑ .
a) Determine os 5 primeiros termos dessa sequência.
b) Encontre o termo geral desta sequência, em função apenas de n.
c) Encontre o soma dos n termos desta sequência, em função apenas de n.
d) Determine a soma dos 4 primeiros termos desta sequência.
Solução da letra a:
∑
=1
+∑
+∑
=
+∑
+∑
+∑
= + 1 + 3 + 6 = 15
+∑
+∑
+∑
+ ∑
= 15 + 1 + 3 + 6 + 10 = 35
+∑
+∑
+∑
+ ∑
+ ∑
+1+3=5
= 35 + 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 70
Solução da letra b:
Nota-se que podemos representar
e
, como:
)+∑
+∑
∑
∑
(∑
)+∑
+∑
(∑
+∑
+∑
)+∑
(∑
+∑
+∑
+∑
(∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+∑
+ ∑
+ ∑ )+∑
+
...