Vibração Livre de Sistema Amortecido a 1 Grau de Liberdade

...

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⎢ ⎨1

⎢⎣ ⎪⎩

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⎛ 15 ⎞

⎝ 22 ⎠ ⎪⎬ ⎜

⎭

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15

⎟ ⎥

22 ⎠ ⎥⎦

Vibração Forçada:[pic 5]

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u p = 0,0053⋅ sen(15 ⋅ t − 0,369)

Vamos representar a solução geral do problema incluindo as duas parcela:

u(t) = e−ζ ⋅ωn⋅t ⋅ A⋅ sen(ω[pic 6]

d

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⋅t + Ψ)+0,0053⋅ sen(15⋅t −0,369)

ωd = 21,7rad / s[pic 7]

Substituindo os valores numéricos:

u(t ) = e −3,61⋅t ⋅ A ⋅ sen(21,7 ⋅ t + Ψ) + 0,0053 ⋅ sen(15 ⋅ t − 0,369)[pic 8]

Condições iniciais t=0

∙

u(t ) = −A⋅ 3,61⋅ e−3,61⋅t ⋅ sen(21,7 ⋅ t +ψ )+ A⋅ e−3,61⋅t ⋅ 21,7 ⋅ cos(21,7 ⋅ t +ψ )+ 0,0053⋅15⋅ cos(15⋅ t − 0,369)[pic 9]

A velocidade é obtida pela derivada do espaço em relação ao tempo

u(0) = 0 = A ⋅ senψ + 0,053 ⋅ sen(− 0,369) ⇒ A ⋅ senψ[pic 10]

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= 0,0204

Velocidade inicial

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∙

(t = 0) ⇒ u(0)[pic 11]

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a massa parte com velocidade de 0,10 m/s

∙[pic 12]

u(t ) = − A ⋅ 3,61⋅ sen(ψ ) + A ⋅ 21,7 ⋅ cos(ψ ) + 0,0053 ⋅15 ⋅ cos(− 0,369)

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A ⋅ cosψ[pic 13]

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= 0,0047

Dividindo (a) por (b):

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A ⋅ senψ

A ⋅ cosψ

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= tgψ

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= 0,024 = 4,34 ⇒ ψ

0,0047[pic 14]

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= 1,344rad

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senψ

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= 0,974[pic 15]

Substituindo em (a):

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A ⋅ 0,974 = 0,0204 ⇒ A = 0,0209m[pic 16]

Após a aplicação das condições iniciais, teremos a função horária da posição da massa por:

u(t ) = 0,0209 ⋅ e −3,61⋅t ⋅ sen(21,7 ⋅ t + 1,344) + 0,0053 ⋅ sen(15 ⋅ t − 0,396)[pic 17]

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Após a aplicação das condições iniciais, teremos a função horária da posição da massa por:[pic 18][pic 19]

∙

u(t)=−0⋅0754⋅e−3,61⋅t ⋅sen(21,7⋅t +1,344)+0,454⋅e−3,61⋅t ⋅cos(21,7⋅t