SISTEMA OSCILATÓRIO AMORTECIDO
Por: Juliana2017 • 26/9/2018 • 1.344 Palavras (6 Páginas) • 339 Visualizações
...
que 0
k 2
m
ω e
b
2
m
ωγ . A equação se trata de uma equação diferencial de
segunda ordem com coeficientes constantes. É possível perceber, pelo fenômeno observado,
que o efeito da força restauradora sobre a partícula a faz oscilar em torno de uma posição de
equilíbrio, tal qual no MHS. O efeito da força de atrito é o de provocar uma redução da
amplitude do movimento da partícula à medida que o tempo passa. Esses dois efeitos
combinados causam o movimento real do oscilador. A solução para essa equação se
caracteriza, portanto, por uma parte oscilatória combinada a uma parte exponencial:
t
x(t) xm e cos( ´t ) ωγ
ω θ
A demonstração da validade da solução pode ser obtida substituindo a solução na
equação diferencial:
t t
m 0 m 0
dx(t)
x e cos( ´t ) ´ x e sen( ´t )
dt
ωγ ωγ
ωγ ω θ ω ω θ
2
2 t t
2 m 0 m 0
t 2 t
m 0 m 0
d x(t)
x e cos( ´t ) ´ x e sen( ´t )
dt
´ x e sen( ´t ) ´ x e cos( ´t )
γ γ
γ γ
ω ω
γ γ
ω ω
γ
ω ω θ ω ω ω θ
ω ω ω θ ω ω θ
2
2 2 t t
2 m 0 m 0
d x(t)
´ x e cos( ´t ) 2 ´ x e sen( ´t )
dt
ωγ ωγ
ωγ ω ω θ ωγ ω ω θ
A equação, com suas soluções, se torna:
0
2
2
2
dx d x
x 2 0
dt dt
ω ωγ
0
2 2
2
t t t
m m 0 m 0
t t
m m 0
2
0
x e cos( ´t ) x e cos( ´t ) x e sen( ´t )
x e
2 ´
cos( ´t ) 2 ´ x e sen( ´t ) 0
2
´
γ γ γ
γ γ
γ γ
γ γ
ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω
ω θ ω θ ω θ
ω ω ω θ ω θ
0
0
2 2 2 2
2 2 2 2
t t
m 0
t
m
( )x e cos( ´t ) ( )e sen( ´t ) 0
( )x
2 ´ 2 ´
e cos( ´t ) 0
2 ´
2 ´
γ γ
γ
ω ω
γ γ
ω
γ
γ
γ
γ
ω ω ω ω
ω ω
ω θ ω θ
ω ω ω θ
ω ω ω ω
...