Aplicação das Equações Diofantinas no Ensino Fundamental

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A experiência aqui apresentada discute e investiga a possibilidade de se inserir o conceito de equação diofantina no ensino fundamental. Geralmente essas equações são vistas em cursos de educação superior . O principal objetivo deste trabalho é estudar a possibilidade de uma abordagem bem sucedida das equações diofantinas no Ensino Fundamental. Para uma análise dessa questão investigativa foram apresentadas algumas situações-problema extraídas do cotidiano. A nossa hipótese é que a abordagem das equações diofantinas no ensino fundamental é viável.

Entretanto, para que essa abordagem seja bem sucedida é necessário que o professor como mediador busque formas de recontextualizar os conhecimentos científicos em situações cotidianas. Nesse trabalho apresentamos alguns exemplos de apresentação desse conteúdo no ensino fundamental.

Acreditamos que um dos papeis fundamentais do professor é auxiliar o aluno a ver as relações entre a matemática e a realidade na qual os estudantes estão inseridos − situações práticas, relação com outras disciplinas. É necessário informar onde determinado assunto é aplicado, não restringindo também as suas aplicações, até porque não é recomendável a utilização dos mesmos exemplos. Não é enriquecedora sempre utilizar como exemplo de aplicação dos logaritmos apenas a escala de Richter, ou apenas os modelos de rampas e sombras na trigonometria, por exemplo. Afinal, a fonte da escolha dos exemplos a serem trabalhados não é necessariamente o professor mas os estudantes.

É claro que é recomendável que os professores contextualizem a matemática, mas não se deve afastar a priori a apresentação de aspectos biográficos de matemáticos ou aspectos da história da matemática que apresentem um bom potencial didático.

Alguns alunos enxergam a matemática como algo já pronto, como uma área de estudo na qual não se tem novas coisas a serem descobertas ou inventadas. Não sabem que atualmente há gente criando novidades na matemática, isso dificulta a compreensão da dinâmica interna desse campo do conhecimento. Essa visão estática da matemática pode repercurtir negativamente no processo de ensino-aprendizagem dessa disciplina.

Um dos instrumentos mais utilizados na matemática são as equações, e as que serão tratadas aqui, as equações diofantinas, são um assunto restrito ao Ensino Superior. Entretanto, nos últimos anos, tem se verificado o crescimento do enfoque metodológico da resolução de problemas tanto no Ensino Médio quanto no Ensino Fundamental. Assim o presente trabalho relata uma experiência docente na qual se estuda a proposta de se inserir as equações diofantinas no Ensino Fundamental.

Uma dos aspectos pelos quais entendemos ser necessária a introdução das equações diofantinas já na educação básica é que quando os alunos defrontam-se com algumas equações diofantinas na educação superior, eles não conseguem relacioná-las com ideias praticas, as quais facilitariam seu entendimento. Surge, assim, o interesse de preparar esses alunos no Ensino Fundamental e Médio, usando táticas que proponham a resolução de problemas ligados ao universo existencial dos estudantes.

Claro que essa introdução deve ser dada sempre com suas aplicações, facilitando o entendimento. Mesmo acrescentando alguns assuntos nos estudos das equações, isso não implica que o programa será mais longo, e sim mais apreendido.

- AS EQUAÇÕES DIOFANTINAS

As equações diofantinas são de suma importância pra resolução de problemas simples, mas com grande valor, do nosso cotidiano. Ainda que não faça parte dos conteúdos abordados nos Ensinos Fundamental e Médio, a nossa hipótese de trabalho é que a teoria das equações diofantinas pode ser introduzida no ensino fundamental e médio, capacitando-os com uma maneira ordenada de resolução desses problemas, que são mais eficientes do que a estratégia de solução por tentativa e erro apresentada costumeiramente.

Os conceitos que são necessários para aplicação da equação diofantina são abordados no fim do Ensino Fundamental, esses são: divisor, máximo divisor comum, divisão euclidiana e equação da reta. Nessa seção esses conteúdos são revisados com mais precisão e apresentadas algumas propriedades que não são abordadas normalmente na Educação básica.

O método de tentativa e erro pra resolver os problemas abordados não são claros e precisos, por isso o desenvolvimento dessa pesquisa, oportuniza avaliar a produção dos alunos a partir de analises de diferentes pontos de vista, confrontando assim com a ideia que o professor propôs.

Para abordagem das equações diofantinas são necessários alguns conteúdos matemáticos que serão enunciados abaixo.

Algoritmo da Divisão de Euclides: Sejam a, b ∈ N com b ≠ 0 . Então existem e são únicos q, r ∈ N tais que a = qb + r, com r .

A divisão euclidiana também é válida em Z.

Teorema: Sejam a, b ∈ Z com b ≠ 0. Então, existem e são únicos q, r ∈Z tais que

a = qb + r, com 0 ≤r .

Note que a exigência de termos 0 ≤ r é fundamental, pois, caso contrário,

perderíamos a unicidade do resto.

Lema de Euclides: Sejam a, b ∈Z e n ∈ N. Então,

MDC(a, b + na) = MDC(a, b – na) = MDC(a, b).

Algoritmo para calcular o MDC: Sejam a, b ∈ N não simultaneamente nulos. Suponhamos que a ≤ b. Pelo Algoritmo da Divisão existem e são únicos q1, r1∈N tais que b = a · q1 + r1 com r1 .

Pelo Lema de Euclides,

MDC(a, b) = MDC(a, b–aq1) = MDC(a, r1).

Se r1=0, o máximo divisor comum MDC(a, b) =MDC(a, 0) = a.[pic 4]

Se r1 ≠ 0, continuamos o processo de divisão, dividindo a por r1.

Pelo Algoritmo da Divisão, existem e são únicos q2, r2∈N, tais que a= r1 ⋅ q2 +r2 com r2 1.

Pelo Lema de Euclides

MDC(a, b)=MDC(a, r1)=MDC(r1, a)= MDC(r1, a– r1 ⋅ q2)= MDC(r1, r2).

Se r2=0, o máximo divisor comum é

MDC(a, b)=