Notas de Aula de Cálculo I Para o Curso de Tecnólogo em Processos Químicos.
Por: Juliana2017 • 31/7/2018 • 6.690 Palavras (27 Páginas) • 324 Visualizações
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Q = {x | x = [pic 5], p e q [pic 6] Z e q [pic 7]0}
Ex.: [pic 8][pic 9] Q, [pic 10] [pic 11] Q, 0,3 [pic 12] Q, [pic 13] [pic 14] Q, [pic 15] [pic 16] Q, [pic 17][pic 18] Q, 0,[pic 19] [pic 20] Q e [pic 21] [pic 22] Q.
Exemplo 1.1 Prove que: se a e b são números racionais quaisquer, também o são a+b, [pic 23] [pic 24] e [pic 25].
Exemplo 1.2 Prove que: se a [pic 26] é tal que a [pic 27]
Certifique-se de que N[pic 28]Z[pic 29]Q. Voltando à construção dos números reais, temos que nos perguntar, neste momento, se os números racionais são suficientes para “preencher” toda a reta real. A resposta é não! Existem números que não são o resultado da divisão de dois números inteiros e, portanto, não podem ser racionais. A essa categoria chamamos de irracionais
(I) ou R\Q.
O professor, a seu critério, poderá discorrer sobre o tema (escolher o caminho que achar ideal).
Provaremos que o número x que satisfaz a equação [pic 30] não pode ser racional.
Admitamos, sem perda de generalidade, que x>o. Admitamos também que x seja racional, isto é, [pic 31]com q [pic 32] e p e q inteiros.
Se [pic 33] e [pic 34], temos então [pic 35]. Ora, esta última igualdade nos conduz a uma( contradição). De fato, os inteiros [pic 36] e [pic 37]contêm cada um dos seus fatores primos um número par de vezes, pois estão elevados ao quadrado. Por conseguinte, [pic 38]contém um número ímpar de fatores e assim não pode ser igual a [pic 39](peça a seu professor para esgotar esta discussão).
Tente compreender a existência desse número e sua natureza distinta dos racionais.
DICA: Em virtude do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo isósceles de lado unitário, teremos:
[a]
[pic 40][pic 41][pic 42]
B 1 A
A hipotenusa [pic 43] tem medida x, tal que x² =2, ou seja, x=[pic 44]. Desta forma podemos naturalmente admitir que haja um lugar na reta reservado para o número[pic 45][pic 46]
- Intervalos
Sejam a e b dois números reais quaisquer com a [pic 47] ,é qualquer um dos conjuntos abaixo:
{a, b} = {x [pic 48][pic 49]І a x b}
[pic 50][pic 51]
Intervalo Fechado (limitado) de extremos a e b.
[pic 52] [pic 53]
CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS
Intervalo fechado à esquerda a e aberto à direita em b.
[pic 54][pic 55]
Intervalo não limitado à direita.[pic 56]
Reflita você os demais intervalos.
Exercícios
Exercício 1.1 A desigualdade x
a) Se x 0, então ax
b) Se x o, então ax > ay.
c) Se 0
d) Se 0 [pic 57][pic 58]> 0[pic 59]e [pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]
e) Se x [pic 64] [pic 65], então x + a [pic 66].
Exercício 1.2 Sejam P e Q dois pontos quaisquer tais que abs(P) = x e abs(Q) = y. Determine a distância entre P e Q nos seguintes casos:
a) x = 1 e y = 2 c) x = 0 e y = -3
b) x = -2 e y = 8 d) x = -1997 e y = 9998
Exercício 1.3 Tente compreender que a distância entre dois pontos P e Q do exercício anterior é y – x se y > x.
Exercício 1.4 Em matemática, se define IxI, “módulo de x” ou “valor absoluto de x”, da seguinte maneira:
x , para x > 0
IxI = 0 , para x = 0
- x , para x
Desta forma:
I5I = 5; I0I = 0; I-1I = 1.
Dê o significado geométrico de IxI na reta.
Exercício 1.5 Generalize o exercício anterior e verifique que a distância entre os pontos Pe Q x e y é dado por I x – y I, independentemente de se conhecer informações sobre estes números.
Exercício 1.5 Prove que se a e b são números reais com a [pic 67] está localizado entre a e b e a igual distância de ambos.
Exercício 1.6[pic 68] Resolva as equações:
a) IxI = 3 c) IxI = 0 e) Ix² - 5I = 1
b) Ix -1I = 2 d) I2x - 3I = 5
Exercício 1.7 Resolva as inequações com base na interpretação geométrica de IxI.
a) IxI 2 e) I x – 1 I 4
b) IxI 3 d) IxI > 2 f) I x – 3 I > 2 h) I 3x – 5 I > 2
Exercício 1.8 Com respeito aos intervalos dos itens abaixo, determine os valores máximo e mínimo, caso existam.
a) [2,3] c) [3,+∞) e) [3, [pic 69] [
b) ]2,5[ d) (-∞,5[
Exercício 1.9 Prove que, para todo inteiro n > 1 e para todo x [pic 70]0, com x > -1, tem-se:
(1 + x)[pic 71]>1 + nx.
Ex.: (1 + x)³ > 1 + 3x e (1 + x)[pic 72]>1 + 4x.
Exercício 1.10 Prove que se x > 1, então as potências sucessivas x, x², x³...crescem e podem vir a superar qualquer número fixado de antemão. Mais precisamente, se x > 1 então, dado qualquer número a >0, é possível obter um inteiro n tal que x[pic 73] > a.
Exercício 1.11 Seja 0 [pic
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