AD 01 - GA1

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Solução: A equação do círculo considerado, em coordenadas cartesianas será

x2 + (y – a)2 = a2,

que pode ser reescrita

x2 + y2 – 2ay = 0.

Considerando as mudanças de coordenadas

[pic 26],

temos

(r cos θ) 2 + (r sen θ)2 – 2a r sen θ = 0,

logo,

r2 – 2a r sen θ = 0,

ou ainda

r = 2a sen θ.

Questão 4 (2,5 pontos): Determine a equação da elipse de eixo focal vertical que possui o ponto

(1, 0) como um dos focos, tem excentricidade 1/2 e é tangente à reta y = 1.

Solução: Observe que a elipse pode possuir qualquer uma das configurações abaixo:

(I)[pic 27]

(II)[pic 28]

No caso I, o centro da elipse será o ponto (1, – c), logo o comprimento a do semieixo focal (que é a distância entre o centro e o vértice (1, 1) ) será a = c + 1. Assim,

[pic 29],

que implica c = 1, a = 2 e o centro é o ponto (1, – c) = (1, – 1). Como a2 = c2 + b2, temos

4 = 1 + b2, logo b2 = 3. Como o eixo focal é vertical, a equação da elipse é

[pic 30]⇔[pic 31].

No caso II, o centro da elipse será o ponto (1, c), logo, a = 1 – c. Assim,

[pic 32],

que implica c = 1/3, a = 2/3 e o centro é o ponto (1, c) = (1, 1/3). Como a2 = c2 + b2, temos 4/9 = 1/9 + b2, logo b2 = 3/9. Como o eixo focal é vertical, a equação da elipse é

[pic 33]⇔[pic 34].