EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Por: Carolina234 • 2/4/2018 • 970 Palavras (4 Páginas) • 262 Visualizações
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A equação da continuidade é usada para os fluidos incompressíveis e compressíveis. Porém nos fluidos incompressíveis é uma forma mais simples dessa equação. É bem verdade que, sempre haverá uma equação da continuidade para qualquer que seja o de fluido escoando podendo ser ele de forma arbitrária e descrito por qualquer modelo, já que a conservação de massa existe em qualquer situação. Porém a equação da continuidade para outros fluidos não incompressíveis, é muito mais complexa que para os fluidos incompressíveis. Fluído incompressível é um fluído que apresenta uma resistência à redução do seu volume próprio quando é submetido à ação de uma força.[a]
A conservação de massa na equação da continuidade é mostrada abaixo.
[pic 1]
Na equação da continuidade, para fluidos incompressíveis, a densidade de massa não é uma função do tempo ou espaço e a equação se reduz a:
[pic 2]
3. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Detalhar o desenvolvimento da equação diferencial da quantidade de movimento, da mesma forma que foi realizado em sala para a equação da continuidade, dividindo nos seguintes tópicos:
3.1 FORÇAS E CAMPOS DE TENSÃO
Campos de Tensão:
[pic 3]
[pic 4]
[pic 5][pic 6]
Forças:
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
3.2 BALANÇO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
3.3 EQUAÇÃO DE CAUCHY
Fluido independente do seu comportamento reológico.
Na direção x:
[pic 13]
Na direção y:
[pic 14]
Na direção z:
[pic 15]
3.4 EQUAÇÃO NAVIER-STOKES
[pic 16]
Equações de Navier-Stokes:
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
4. APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO MOVIMENTO
A aplicação da equação da equação diferencial da quantidade de movimento.
- Duas placas inclinadas separadas por grandes dimensões 1
Para um plano inclinado a melhor escolha do eixo X é na direção do fluxo, ou seja, paralelo ao plano, com o eixo Z perpendicular a este e apontando para baixo. O eixo Y, em consequência, ficará também paralelo ao plano. Considerando-se um plano de inclinação Θ, esse peso terá componentes no eixo X e no eixo Z, mas não no eixo Y; chamemos gx e gz essas componentes. A hipótese de fluxo laminar implica, obviamente, em vz = vy = 0. Finalmente, devido à simetria, para uma propriedade η qualquer:
[pic 20]
Neste caso a equação da continuidade nos dá:
[pic 21]
A equação de Navier-Stokes referente ao eixo X, neste caso, simplifica-se para
[pic 22]
[pic 23]
A variação da pressão ao longo do eixo X é nula, porque o líquido tem uma superfície livre e, portanto, à pressão atmosférica. Em outras palavras, p(x,y,0) = constante para todos os valores de x e de y.
Similarmente, para o eixo Y
[pic 24]
[pic 25]
E, para o eixo z
[pic 26]
[pic 27]
Integrando a primeira equação, teremos:
[pic 28]
Mas não pode haver fluxo em z = 0 (adjacente ao plano), nem tensões em z = - h0 (superfície do fluido), portanto:
[pic 29]
[pic 30]
Portanto,
[pic 31]
A equação que descreve o campo de tensões é, então, a seguinte:
[pic 32]
A tensão nos pontos ajdacentes ao plano inclinado será:
[pic 33]
O valor negativo indicando que ela aponta na direção negativa do eixo X, ou seja, é contrária ao fluxo. A vazão volumétrica será:
[pic 34]
onde W é a largura do plano. Assim,
[pic 35]
[pic 36]
Podemos calcular também a velocidade média:
[pic 37]
Quanto a segunda equação:
[pic 38]
Ela nos fornece informação a respeito do campo de pressões, informação esta que coincide com aquela derivável da análise estática.
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