APLICAÇÃO ÁLGEBRA LINEAR

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A Figura 1.6 mostra um único pixel sendo atravessado, num sentido paralelo aos lados, por um feixe de raios X de aproximadamente a mesma largura do pixel. Os fótons que constituem o feixe de raios X são absorvidos pelo tecido dentro do pixel numa taxa proporcional à densidade de raios X do tecido. Quantitativamente, a densidade de raios X do j-ésimo pixel é denotada por xj e é definida por: onde o “ln” denota a função logaritmo natural. Usando a propriedade logarítmica ln(a/b) ln(b/a), também temos

[pic 6]

onde o “ln” denota a função logaritmo natural. Usando a propriedade logarítmica ln(a/b) ln(b/a), também temos:

[pic 7]

Se o feixe de raios X passa por uma fileira inteira de pixels (Figura 10.12.7), então o número de fótons saindo de um pixel é igual ao número de fótons entrando no próximo pixel na fileira[pic 8]

Figura 1.6

Fótons entrando Fótons saindo do

no j-éssimo termo j-éssimo termo

[pic 9]

Figura 1.7

Os fótons entrando Os fótons saindo

no primeiro pixel do enésimo pixel

Se esses pixels são numerados 1, 2, . . . , n, então, pela propriedade aditiva da função logarítmica, temos

[pic 10]

(1) () )(

Assim, para determinar a densidade de raios X total de uma fileira de pixels, simplesmente somamos as densidades dos pixels individuais.

Em seguida, considere o feixe de raios X da Figura 10.12.5. A densidade de feixe do i-ésimo feixe de um escaneamento é denotada por bi e é dada por:

[pic 11]

(2)

O numerador da primeira expressão de bi é obtido executando um escaneamento de calibração sem ter a seção transversal no campo de visão. As medidas que resultam no detector são armazenadas na memória do computador. Depois é executado um escaneamento clínico com a seção transversal no campo de visão, sendo calculadas todas as densidades bi e os valores armazenados para processamento adicional.

Para cada feixe que passa paralelo por dentro de uma fileira de pixels, devemos ter:

[pic 12]

Assim, se o i-ésimo feixe passa paralelo por dentro de uma fileira de pixels, então, das Equações (1) e (2), segue que:

x1 + x2 + . . . + xn = bi

Nessa equação, a densidade bi é conhecida pelas medidas de calibração e clínicas que são feitas, e x1 , x2 , . . . , xn são densidades desconhecidas de pixel que devem ser determinadas.

Mais geralmente, se o i-ésimo feixe passa paralelo por dentro de cada pixel de uma linha ou coluna de pixels numerados j1 , j2 , . . . , ji , então temos:

xj1 + xj2 +. . .+ xji = bi

Definindo:

[pic 13]

podemos escrever essa equação como:

[pic 14]

(3)

Vamos dizer que a Equação (3) é a i-ésima equação de feixe.

Olhando para a Figura 1.5 vemos entretanto, que, os feixes de um escaneamento não necessariamente passam paralelos por dentro de cada pixel de uma linha ou coluna de pixels. Em vez disso, um feixe típico passa diagonalmente por cada pixel em seu caminho. Há muitas maneiras de lidar com isso. Na Figura 1.8 delineamos três métodos para definir as quantidades aij que aparecem na Equação (3), cada um dos quais reduz a quantidade aij à definição dada acima quando o feixe passa paralelamente por uma linha ou coluna de pixels. Lendo de cima para baixo, cada método é mais exato que o anterior, mas apresenta maior dificuldade computacional. ANTON:RORRES,(2012)

[pic 15]

Figura 1.8

Usando qualquer um dos três métodos para definir os aij na i-ésima equação de feixe, podemos escrever o conjunto de M equações de feixe de um escaneamento completo como

[pic 16]

Desse modo, temos um sistema linear de M equações (as M equações de feixe) em N incógnitas (as N densidades de pixel).

Dependendo do número de feixes e de pixels usados, podemos ter M N ou M = N. Consideremos o assim chamado caso sobredeterminado, em que M > N, no qual há mais feixes no escaneamento do que pixels no campo de visão. Devido aos erros experimentais e de modelagem inerentes ao problema, não deveríamos esperar que o nosso sistema linear tivesse uma solução matemática exata para a densidade dos pixels. ANTON:RORRES,(2012)

2.1 ENCONTRANDO SOLUÇÃO APROXIMADA

Muitos foram os algoritmos desenvolvidos para tratar o sistema sobredeterminado (4). O que iremos descrever pertence a uma assim chamada classe de Técnicas de Reconstrução Algébrica (TRA). Esse método, que pode ser visto como derivado de uma técnica iterativa introduzida originalmente por S. Kaczmarz, em 1937, foi o método utilizado na primeira máquina comercializada. Para introduzir essa técnica, considere o sistema de três equações em duas incógnitas seguinte.

[pic 17]

As retas L1 , L2 , L3 determinadas por essas três equações estão esboçadas no plano X1 X2. Como indicamos na Figura 1.9(a),

[pic 18]

Figura 1.9(a)

as três retas não têm uma interseção comum, de modo que as três equações não têm uma solução exata. Contudo, os pontos (x1 , x2) do triângulo sombreado delimitado por essas três retas estão todos situados “perto” dessas três retas e podem ser considerados como sendo soluções “aproximadas” de nosso sistema. O procedimento iterativo seguinte descreve uma construção geométrica para gerar pontos na fronteira dessa região triangular como representado na