ATPS Algebra Linear

...

Se em uma matriz de qualquer ordem os elementos de uma coluna ou uma linha forem iguais a 0, automaticamente o determinante também será Det. = 0

Segunda propriedade

Se existir igualdade de elementos em linhas ou colunas o determinante será nulo:

Terceira propriedade

Em uma matriz de ordem nxn com valores proporcionais, o determinante também será nulo também nesse caso:

Quarta propriedade

No caso de multiplicarmos uma linha ou uma coluna de uma matriz por um número X, o determinante também será multiplicado pelo mesmo número X:

Quinta propriedade

Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

Det. (k*A) = kn * det A

Sexta propriedade

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao valor da mesma transposta

Det. R = det (Rt).

Sétima propriedade

Para obter o determinante de uma matriz triangular basta multiplicar os valores da diagonal principal, obtendo assim o determinante. Lembrando que em uma matriz desse tipo os valores abaixo ou sobre a diagonal é igual a zero.

EQUAÇÃO LINEAR

Considera-se como equação linear toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3... anxn = c

Onde, a1, a2, a3,... , an são coeficientes reais e não podem ser nulo, ou seja, não podem ser igual á 0, e x1, x2, x3,..., xn são as incógnitas e C é o termo independente.

Quando o termo independente é nulo, ou seja, C=0, A equação linear é homogênea.

Exemplos de Equações Lineares

+ y + z = 4

X + y = 5

2x 4x + 5y + z = 0

Solução de Equação Linear

Um conjunto de números pode ser a solução de uma equação linear se todos os números desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação assim ao substituirmos as incógnitas pelos números desse conjunto respectivamente na equação linear a1 x1 + a2x2 +a3x3 ++... + anxn = b deve ser verdadeira.

Exemplo: O conjunto (0, 1, 2) e a solução da equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é verdadeira essa solução, devem-se substituir os valores 0, 1 e 2 nas suas respectivas incógnitas, conforme abaixo.

-2. 0 + 1 + 5. 2 = 11 -> 0 + 1 + 10 = 11 -> 11 = 11

Como os valores são iguais (11=11), a solução é verdadeira, Então podemos concluir que o conjunto (0, 1, 2) é solução da equação -2x + y + 5z = 11

SISTEMA LINEAR

Considera-se sistema linear um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas

Exemplos de Sistemas Lineares

a) Sistema linear de duas equações e duas incógnitas onde X e Y são as incógnitas e 7 e 1 são os termos independentes.

b) Sistema linear de três equações e três incógnitas onde X, Y e Z são as incógnitas e -7, 3 e 12 são os termos independentes.

CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMA LINEAR

SPD - Sistema Possível e Determinado

Tem apenas um único valor para as incógnitas.

Exemplo de SPD

A única solução existente para o sistema abaixo é (4,1).

SPI - Sistema Possível e Indeterminado

Tem infinitas soluções, ou seja, os valores de x e y, que são as incógnitas, assumem inúmeros valores.

Exemplo de SPI

O sistema abaixo, x e y pode assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc.

SI - Sistema Impossível

Não possui soluções, por isso esse tipo de sistema é classificado como impossível.

Exemplo de SI

O sistema a seguir é impossível.

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

Considerasse sistema linear homogêneo aquele que possui todos os termos independentes nulos.

Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial {0, 0, 0,..., 0}.

Mas também pode ter outras soluções além da trivial.

MATRIZES DE UM SISTEMA LINEAR

A um sistema de m equações e n incógnitas podem associar duas matrizes:

Incompleta – Formada pelos coeficientes das incógnitas

Completa – Formada pelos coeficientes das incógnitas e os termos independentes.

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear:

Exemplo:

Para o sistema abaixo, os valores que satisfazem as duas equações são x=2 e y=1

Logo, a solução do sistema é (2, 1)

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

(Etapa