ATPS ÁLGEBRA LINEAR

...

- 1

Se a matriz identidade de ordem 1 é I1=(1) e que, se A é a matriz do tipo mxn, com m≠n, então:

- Im ● A = A e não existe A ● Im;

- A ● In = A não existe In ● A;

Exemplo: Sendo A= 2 5 7 , temos:

3 4 6

- I2 ● A= 1 0 ● 2 5 7 = 2 5 7 = A

0 1 3 4 6 3 4 6

- Não existe A ● I2.

Matrizes invertíveis

Vamos, inicialmente, considerar a matriz A= 3 2 e analisar se

7 5

existe uma matriz B tal que AB=I2.

Se existe, B é uma matriz quadrada de ordem 2 ● fazendo B= x u

Y v ,

temos:

AB= I2 → 3 2 x u = 1 0 → 3x + 2y 3u + 2y =

7 5 y v 0 1 7x + 5y 7u + 5y[pic 3]

1 0 → 3x + 2y = 1 1[pic 4]

0 1 7x + 5y = 0 2 [pic 5]

3u + 2v = 0 3 [pic 6]

7u + 5y = 1 4[pic 7][pic 8]

Do sistema formado por 1 e 2 , temos x = 5,y = -7

Do sistema formado por 3 e 4 , temos u = -2, v = 3.[pic 9][pic 10]

Portanto, existe B= 5 -2 tal que AB=I2

-7 3

Nesta situação, BA também é igual a I2. Veja:

B ●A = 5 -2 3 2 = 1 0 = I2

-7 3 7 5 0 1

Agora, se A fosse a matriz 4 2 , para existir B= a c , tal que

2 1 b d

AB= I2, deveríamos ter:

4a + 2b = 1 1[pic 11][pic 12]

4 2 a b = 1 0 → 2a + b = 0 2

2 1 c d 0 1 4c + 2d = 0 3 [pic 13]

2c + d = 1 4[pic 14]

Neste caso o sistema formado por 1 e 2 é impossível.[pic 15][pic 16]

O sistema formado por 3 e 4 também é impossível. Portanto, não existe B tal que AB= I2.[pic 17][pic 18]

A partir da definição de matriz invertível que:

a) Nenhuma matriz nula é invertível

b)Toda matriz identidade é invertível e igual a sua inversa.

Matriz identidade

Para que uma matriz seja identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertence a diagonal principal devem ser iguais a 1 e os restante dos elementos iguais a zero.

Exemplo: 1 0 0

0 1 0 3x3

0 0 1

Operações envolvendo matrizes

Adição:

Dadas as matrizes A=(aij) e B=(bij)mxn , chamamos de somas de matrizes a matriz C=(cij)mxn, tal que Cij=aij + bij.

A+B=C

Exemplo: ( 1 4 ) + (2 -1) = (3 3)

Subtração:

Dadas as matrizes A=(aij)mxn e B(bij)mxn, chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B.

Exemplo: (3 0) - (1 2) = (2 -2)

Multiplicação de um número real por uma matriz

Dados um número real x e uma matriz A do tipo mxn, o produto de x por A é uma matriz B do tipo mxn obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij=xaij.

Exemplo: 3. (2 7) = (6 21)

Multiplicação de matrizes

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio meio do produto dos seus respectivos elementos.

Assim o produto das matrizes A=(aij)mxp e B=(bij)pxm em que cada elemento Cij é obtido por meio da soma dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna 13.

Exemplo:

1ª linha e 1ª coluna

A= 1 2 -1 3 = (1.(-1)+2.4)[pic 19][pic 20]

3 4 . 4 2

1ª linha e 2ª coluna

A= 1 2 -1 3 = (1.(-1)+2.4 1.3+2.2)[pic 21][pic 22][pic 23]

3 4 . 4 2

2 ª linha e 1 ª coluna

A= 1 2 -1 3 = 1.(-1)+2.4 1.3+2.2[pic 24][pic 25]

3 4 . 4 2 3.(-1)+4.4 [pic 26]

2 ª linha e 2 ª coluna

A= 1 2 -1 3 = 1.(-1)+2.4 1.3+2.2[pic 27]

3 4 . 4 2 3.(-1)+4.4 3.3+4.2[pic 28][pic 29]

Assim A.B = 7 7

13 17

ETAPA 2

O determinante de uma matriz é o produto dos elementos diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária dessa matriz.

Passo 2: deter. 2x2 2 5 2.7 – 5.4 = 14 – 20 = -6

4 7[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Deter. 3x3 2 6 -1 2 6 -1 2 6

-1 3 2 = -1 3 2 -1 3

3 4 5 3 4 5 3 4

-9 16 -30 30 36

...