Algebra linear

...

[pic 22]

Multiplicação de um número real por uma matriz

Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:

B = x.A

Observe o seguinte exemplo:

[pic 23]

Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

Multiplicação de matrizes

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz [pic 24] para entender como se obtém cada Cij:

- 1ª linha e 1ª coluna

[pic 25]

- 1ª linha e 2ª coluna

[pic 26]

- 2ª linha e 1ª coluna

[pic 27]

- 2ª linha e 2ª coluna

[pic 28]

Assim, [pic 29].

Observe que:

[pic 30]

Portanto, [pic 31].A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes [pic 32]:

[pic 33]

[pic 34]

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

[pic 35]

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

- Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5

- Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto

- Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 .

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