A Modelagem Matemática e Simulação Computacional para Análise de Dispersão de Poluentes em um Trecho do Rio Paraíba do Sul

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restando poucos fragmentos de mata Atlântica conservados em parques e reservas florestais. Problemas como o desmatamento e o lançamento de esgotos nos rios, causados sobretudo pela urbanização e industrialização, tem levado à diminuição de espécies vegetais e animais, além da poluição dos rios e da escassez hídrica que a região tem apresentado, uma vez que as chuvas captadas durante os últimos anos se encontram abaixo da média (MAGALHÃES, 2015).

É evidente a necessidade de adoção de medidas públicas e ambientais a fim de minimizar os danos e impactos ambientais causados por atividades domésticas e industriais que a população da bacia do Paraíba e as empresas estabelecidas vem ocasionando ao longo dos anos na região.

Como mencionado no texto o foco das simulações realizadas do trabalho se dá no trecho do Rio Paraíba em Volta Redonda, adjacente a Usina Presidente Vargas, empresa do grupo CSN (uma das maiores empresas da região do Estado do Rio de Janeiro). As simulações estão concentradas nesse trecho devido ao recentemente envolvimento da desta empresa em um acidente ambiental impactando no rio Paraíba. Na figura 2 destaca-se o trecho utilizado para as simulações.

Este estudo têm a finalidade de criar um instrumento que auxilie significativamente na avaliação de acidentes, de ações de prevenção e de estratégias de ação ou de políticas públicas de controle de impacto ambiental. Propõe-se disponibilizar como resultado do estudo um software desenvolvido no MATLAB que reproduza a dispersão das manchas de poluentes em um trecho reto do rio Paraíba do Sul, e posteriormente viabiliza-lo por meio de uma interface, de fácil acessibilidade, cujo modelo seja viável para criar cenários que possam posteriormente serem aplicados em outros casos de possíveis de impactos em corpos aquáticos, baseado na dissertação de mestrado “Modelagem Matemática e Simulação Computacional para Análise de Dispersão de Poluentes em um Trecho do Rio Paraíba do Sul” de José Ricardo Ferreira de Almeida.

Figura 2 - Trecho do Rio Paraíba do Sul adjacente a CSN.

Fonte: ALMEIDA (2010).

No trecho referente ao estudo, se tem os valores de profundidade de 4 a 5 metros, a largura de 80 a 120 metros e o comprimento aproximado é de 3500 metros. Devido a grande diferença, da profundidade quando comparado com comprimento e largura, o modelo será descrito na forma bidimensional, desconsiderando a profundidade (ALMEIDA, 2010).

MÉTODOS E RESULTADOS

O modelo matemático utilizado é fundamentado por equação diferencial parcial de Difusão-Advecção-Reação, fenômenos de decaimento global e fontes poluidoras. Em virtude de o modelo não possuir solução analítica recorre-se ao método de Crank-Nicolson que realiza uma aproximação das diferenças finitas centradas nas variáveis espaciais e temporais, aplicado para a solução do mesmo. Aplica-se a parábola de Poiseuille como perfil de velocidades, na qual a velocidade próxima ás extremidades é baixa, aumentando em direção ao centro da seção, o que influência diretamente na construção do método de diferenças finitas.

MÉTODO DE CRANK-NICOLSON

O conceito básico do método de diferenças finitas é substituir as derivadas presentes em uma equação diferencial por expressões algébricas construídas a partir da série de Taylor. Utiliza-se este Crank-Nicolson nas aproximações temporais de Equações ou Sistemas de Equações de Derivadas Parciais. Dentre as vantagens deste método estão a ordem da aproximação, o custo computacional, seu bom comportamento numérico e a sua relativa simplicidade algorítmica.

IMPLEMENTAÇÃO, PARÂMETROS E SIMULAÇÕES

Segundo Robalo, Almeida e Coimbra (2011), nos últimos anos o MATLAB® tem sido cada vez mais usado na simulação de modelos matemáticos em diversas áreas da investigação científica como ferramenta computacional de alto desempenho. No entanto, há inúmeras dificuldades relacionadas a definição dos parâmetros, pois trabalha-se somente com hipóteses, outro ponto importante a se considerar, é a criação de uma interface que facilite a geração dos gráficos.

Para realizar as simulações é necessário definir quais serão as variáveis aplicadas ao algoritmo, e a partir delas serão gerados diferentes cenários para posterior análise. Para a execução de todo o processo utilizou-se o software MATLAB® (R2008a).

Como partida é apresentado a implementação computacional do algoritmo de aproximação numérica do modelo de Crank-Nicolson, como segundo passo propôs-se cenários a partir da implementação do modelo objetivando a realização das simulações.

Implementação

O código original foi gerado no MATLAB® versão 7.7.0.471 (R2008b) sobre a plataforma operacional Ubuntu Linux versão 9.10 (Karmic Koala) num notebook Toshiba® com processador Intel Core 2 Duo Processor T5550 de 4 Gigabytes de memória RAM, enquanto a reprodução do mesmo ocorreu em uma versão do MATLAB® (R2017b) em um notebook Dell® Windows10, intel (R)Core TM i5- 5200U com 8 gigabytes de memória RAM

Para explicitar a passagem do modelo matemático para a implementação algorítmica é adotado um retângulo com nove nós como pode-se observar na figura 3 abaixo. É apropriado expressar as aproximações espaço-temporais como sucessivos valores un+ 1i inovo, onde inovo = 1 a ni (número total de incógnitas/nós).

Figura 3- Malha de nós utilizados nas simulações

Fonte: ALMEIDA (2010).

Fez-se nesta fase de implementação, a alteração do índice bidimensional para unidimensional, empregando:

inovo = (i−1)∗nny + j (1)

Onde:

i=coluna do nó na malha

j=linha no nó da malha

nny=número de nós numa coluna da malha

inovo=novo índice obtido

Reescreveu-se a equação do modelo discretizado utilizando os termos contidos na figura 4, para obter a seguinte equação 2 abaixo:

u_(i-1j)^(k+1)(dsile) + u_(ij-1)^(k+1)(dsipe) + u_ij^(k+1) (dpe) + u_(ij+1)^(k+1)(dsspe) + u_(i+1j)^(k+1) (dssle) =

u_(i-j1)^k(dsild)