Teoria Fundamental do Cálculo
Por: SonSolimar • 7/11/2018 • 1.717 Palavras (7 Páginas) • 280 Visualizações
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Assim, pode-se compreender o Teorema Fundamental do Cálculo como sendo a base das duas operações centrais do cálculo: a diferenciação e a integração. De acordo com as fontes consultadas, equivale a dizer que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. Este teorema é de suma importância no cálculo, por isto recebe o nome Teorema Fundamental do Cálculo.
Observa-se que este Teorema estabelece uma importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação.
O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser explicado por duas versões, apresentados na sequência.
- TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – PRIMEIRA VERSÃO
De acordo com o sítio DM-UFSCAR (2016), a primeira versão do Teorema Fundamental do Cálculo tem por ponto de partida uma função ⨍ contínua no intervalo [a; b]. A função ⨍ definida por:
[pic 3]
Ela é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b) e F’ (x) = f (x), isto é, F é a antiderivada de f.
[pic 4]
Exemplificando o exposto, segundo o sítio WP-UFPEL (2016):
Dada uma função f contínua em [a; b] e definida uma nova função F por:
[pic 5]
Onde a≤x≥b. Pode-se observar que F depende somente de x, que aparece como variável superior do limite da integral. Se x for um número fixo, então a integral é um número definido. Ao se variar o valor de x, o número da integral acima também varia e define uma função de x denotada por F (x).
F (x) pode ser interpretada como a área sob o gráfico de f de a até x, onde x pode varia de a até b - “função área”.
Figura 1 – Gráfico da função área.[pic 6]
Fonte: WP-UFPEL. Disponível em .Acesso em 14 Nov. 2016.
[pic 7]
A fim de computar F’ (x) da definição de derivada:
quando o h é pequeno![pic 8]
[pic 9]
Pelo gráfico observa-se que:
Figura 2 – Gráfico da determinação de h.
[pic 10]
Fonte: WP-UFPEL. Disponível em .Acesso em 14 Nov. 2016.
Intuitivamente, segundo os autores:
[pic 11]
Como consequência do Teorema Fundamental do cálculo, primeira versão, tem-se a segunda versão, a qual foi denominada de Newton-Leibniz, sendo descrita no próximo tópico.
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- TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – SEGUNDA VERSÃO
Esta versão estabelece uma conexão entre as integrais indefinidas e as integrais definidas.
Sendo f uma função contínua no intervalo [a; b], se:
[pic 12]
Então,
[pic 13]
Onde F é qualquer antiderivada (ou primitiva), isto é, uma função tal que F’ = f.
O Teorema Fundamental do Cálculo permite facilmente calcular áreas, em gráficos distintos, quando se sabe as funções de suas curvas ou retas.
- EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Dada uma situação hipotética, para uma empresa que atua na estrutura de mercado denominada de monopolista, na qual a sua função da receita total é dada por Rt = -(x2) +14x e a sua função do custo total é dada por Ct = 1,7294(x2) - 21,628(x) + 82,84, onde x é a quantidade produzida e vendida. Determinar:
- O gráfico para o intervalo de 0 a 14 para as duas funções:
- Determinação da tabela dos valores de Rt e Ct entre 0 a 14:
Tabela 1 - Valores de Rt e Ct entre 0 a 14
x
Pv
Rt
Ct
0
14
Rt1 = -(12) +14(1) =
0,00
Ct1 = 1,7294(12) - 21,628(1) + 82,84 =
83,00
1
13
Rt1 = -(12) +14(1) =
13,00
Ct1 = 1,7294(12) - 21,628(1) + 82,84 =
63,00
2
12
Rt2 = -(22) +14(2) =
24,00
Ct2 = 1,7294(22) - 21,628(2) + 82,84 =
46,00
3
11
Rt2 = -(32) +14(3) =
33,00
Ct3 = 1,7294(32) - 21,628(3) + 82,84 =
33,00
4
10
Rt4 = -(42) +14(4) =
40,00
Ct4 = 1,7294(42) - 21,628(4) + 82,84 =
23,00
5
9
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