Estimação de Estado

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É importante destacar que a modelagem trifásica possibilita um grau de detalhamento maior que a modelagem por-fase, permitindo a obtenção de estimativas mais precisas para as variáveis de estado. Além disto, ressalta-se o fato de a modelagem trifásica possibilitar o tratamento, sem distinção, dos sistemas de transmissão e distribuição. Deve-se destacar ainda que, tendo em vista o interesse crescente pela monitoração em tempo-real dos sistemas de distribuição, em razão principalmente do desenvolvimento e implantação das redes inteligentes (Smart Grids) (Meliopoulos et al, 2011), tornam-se necessárias pesquisas tratando das diversas etapas do processo de EE, considerando a modelagem trifásica da rede, tendo em vista que os sistemas de distribuição são usualmente desequilibrados.

Normalmente, as metodologias desenvolvidas para lidar com os problemas de observabilidade e redundância de medidas, no contexto de EE trifásica, são baseados em metodologias desenvolvidas para modelagem por – fase (ou monofásica).

Em (Almeida et al, 2006b), por exemplo, o algoritmo de análise de observabilidade apresentado em (Monticelli e Wu, 1999), que se baseia na fatoração triangular da matriz Ganho do estimador de estado por mínimos quadrados ponderados (MQP) monofásico, foi adaptado para modelagem trifásica. Também em (Almeida et al, 2006b), foi desenvolvido um método, baseado na fatoração da matriz de Gram, que é obtida através do produto da matriz Jacobiana, do estimador de estado por MQP trifásico, pela sua transposta, para a alocação de pseudo-medidas para restauração da observabilidade, no contexto de EE trifásica. Em seguida, os mesmos autores desenvolveram um método para identificar MCs e CCMs, no contexto de EE trifásica, baseado na fatoração triangular da matriz de Gram (Almeida et al, 2009).

Entre os métodos desenvolvidos para análise de observabilidade e de redundância de medidas, no contexto de EE monofásica, destaca-se, a nosso ver, o método proposto em (London Jr. et al, 2007). Isto em razão de a mesma possibilitar análise e restauração da observabilidade de uma forma simples e direta, através da fatoração triangular da matriz Jacobiana do estimador de estado por MQP monofásico. O método permite ainda a identificação de MCs e de CCMs através da análise da estrutura da matriz resultante dessa fatoração, a matriz [pic 1].

A partir da matriz Jacobiana do estimador de estado por MQP trifásico proposto em (Zhong e Abur, 2002), este artigo propõe estender o método proposto em (London Jr. et al, 2007) para modelagem trifásica. O objetivo é obter uma métodologia simples, de fácil implantação computacional, que possibilite análise e restauração da observabilidade, bem como identificação de MCs e CCM, no contexto EE trifásica.

O artigo está organizado da seguinte forma: Seção II apresenta aspectos básicos do processo de EE monofásica; o método desenvolvido em (London Jr. et al, 2007) é brevemente apresentado na Seção III; Seção IV descreve a metodologia proposta; Seção V apresenta resultados numéricos da aplicação da metodologia proposta em sistemas já utilizados na literatura (Almeida, 2007), e na Seção VI resumem-se as conclusões deste artigo.

2 Processo de Estimação de Estado monofásica

2.1 Formulação matemática do Estimador de Estado por MQP monofásico

Conhecida a topologia da rede e os parâmetros de um SEP, torna-se possível relacionar as medidas analógicas aferidas, expressas como funções não-lineares das variáveis de estado, com os erros de medição, através do seguinte modelo:

[pic 2]

(1)

sendo z o vetor de medidas (mx1); h(x) a função não-linear relacionando as medidas com as variáveis de estado do sistema; x é o vetor de variáveis de estado do sistema (Nx1) e w o vetor de ruído das medidas (mx1), que são considerados como variáveis aleatórias independentes com distribuição Gaussiana de média zero e matriz de covariância R; sendo ainda “m” e “N” o número de medidas e de variáveis de estado a serem estimadas, respectivamente. Aplicando a teoria de MQP, a melhor estimativa do vetor de variáveis de estado, aqui designado por [pic 3], pode ser obtida determinando-se o valor de [pic 4] que minimize o índice J(x), definido como segue

[pic 5]

(2)

A estimativa por MQP do vetor [pic 6] é obtida de forma iterativa, através do cálculo da matriz Jacobiana H, dada pela equação:

H = ∂ h(x) / ∂x,

(3)

e da solução da equação normal:

[pic 7],

(4)

com,

[pic 8](Matriz Ganho).

(5)

2.2 Análise de Observabilidade

Usualmente o modelo desacoplado do estimador de estado linear é adotado para análise de observabilidade e de redundância de medidas no contexto de estimação monofásica (Krumpholz et al, 1980). Em razão disto, o método proposto em (London Jr. et al, 2007) se baseia na fatoração triangular da matriz Jacobiana do modelo linear, também chamado de modelo [pic 9](esta matriz relaciona medidas de potência ativa com ângulos de fase de tensão).

De acordo com a definição de observabilidade algébrica apresentada em (Krumpholz et al, 1980), um sistema é [pic 10] algébricamente observável, com respeito a um conjunto de medidas, se:

[pic 11]

(6)

em que (n-1) é o número de variáveis de estado a serem estimadas para o modelo [pic 12] (sendo n é o número de barras do sistema). Se o [pic 13] a corrrespondente matriz Ganho não terá inversa e a equação (4) não terá solução, caracterizando o sistema como não-observável.

3 Matriz H∆

Considerando o modelo Pθ, a matriz HΔ associada a um SEP Pθ observável com m medidas e n barras, apresenta a seguinte estrutura (London Jr. et al, 2007):

[pic 14][pic 15][pic 16]

(6)

onde I é uma matriz de identidade de dimensão (n-1)x(n-1)