MOVIMENTO DE UMA PARTICULA NA CARDIOIDE

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Esta pesquisa se caracteriza como uma análise de caráter qualitativa, uma vez que para o desenvolvimento da pesquisa e realização das discussões foram realizados estudos bibliográficos acerca das cardióides. Posteriormente, foi feito e discutido a descrição do movimento nas cardióides com auxílio das suas equações paramétricas.

Nesse sentido, foram consultados teses e dissertações publicados na internet, bem como outras publicações independentes, que nos possibilitassem ampliar o estudo. Frente a tal realidade, alguns autores defendem a metodologia utilizada, dentre eles, Severino (2007) e Gil (2009), afirmam que esta é desenvolvida com base em material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para compreendermos como funciona o movimento em uma Cardióide, inicialmente faremos um estudo da cardióide, analisando o seu comportamento, suas características e as equações que a definem, além de funções que descrevem o comportamento de uma partícula se movimentando na cardióide.

A cardióide pode ser gerada de várias maneiras com base em diversas definições. Sendo a equação da cardióide () = 1+ , assim a medida que varia de 0 a , diminui de 1 para -1 e, consequentemente o raio da cardióide diminui de 2 para 0. O ângulo varia de até 2, volta de -1 para 1 e o raio da cardióide cresce de 0 para 2.[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

EQUAÇÕES DA CARDIÓIDE

A equação da cardióide mais comumente usada é a sua equação na forma polar, a qual tem a seguinte representação:

() = 1+ 0[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Podemos ainda obter a equação da cardióide na forma parametrizada, as quais serão o objeto de uso deste estudo. Com o como parâmetro variando de 0 a 2 e o raio de 0 a 2. [pic 25][pic 26]

= (= [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

E na forma cartesiana temos:

= 4[pic 33][pic 34]

Agora com as equações paramétricas, e ( serão as componentes da função posição = ( que nos dará a curva da cardióide. Com base nessa função poderemos obter a função velocidade e aceleração, derivando a função posição em relação a t. A primeira derivada nos dá a função velocidade, já a com a segunda derivada obtemos a função aceleração.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

Desse modo, substituindo as componentes na função posição = ( e reagrupando temos:[pic 42][pic 43][pic 44]

= + [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

Derivando uma vez temos [pic 49]

= + temos,[pic 50][pic 51][pic 52]

+ [pic 53][pic 54][pic 55]

Agora derivando temos [pic 56][pic 57]

= temos,[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

[pic 62][pic 63]

ANÁLISE DO MOVIMENTO NA CARDIÓIDE

Veremos agora como uma partícula em movimento na cardióide se comporta, primeiramente estudaremos a velocidade da partícula no gráfico.

Na figura abaixo a partícula P se move pela curva com uma velocidade v enquanto percorre a cardióide. No instante mostrado abaixo a partícula P possui coordenadas Xp e Yp.

[pic 64]

A velocidade da partícula é sempre tangente a trajetória da partícula na posição, ou seja é perpendicular ao raio r. Assim o ângulo que a velocidade faz com a reta vertical que passa pelo ponto P é o mesmo ângulo que o raio r faz com o eixo x.[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]

Os componentes do vetor velocidade são representados abaixo.[pic 70]

[pic 71] = + [pic 72][pic 73][pic 74]

= v + v[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

Podemos substituir e por e respectivamente e a equação adquire a seguinte forma: [pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]

= () + () subs. = v=R[pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]

Notamos aqui então que o raio não é constante portanto o modulo da velocidade varia a medida que partícula se move na cardiode, apresentando um movimento não uniforme.

Aprofundando mais o estudo da cardióide é possível notar que a sua curva apresenta um ponto critico a medida que o ângulo se aproxima de , derivando a função posição e obtendo a vemos que a medida que o ângulo se aproxima dela pela esquerda com valores inferiores a , o x é positivo e o y negativo, e a medida que nos aproximamos pela direita com valores ligeiramente superiores a , o x é negativo e o y também é negativo então temos que o y não muda mais o x muda de positivo para negativo, então as derivadas a medida que nos aproximamos de pelos lados divergem, assim temos que o ponto em questão apresenta uma incongruência ou singularidade. Dessa forma podemos concluir que o movimento não é cíclico.[pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99]

CONCLUSÃO

O estudo da cardióide nos apresenta diversas formas de defini-las por meio das suas equações que variam desde a forma polar, cartesiana e as paramétricas, as quais são as mais importantes para este estudo, pois por meio delas podemos definir uma função posição de um cada ponto na cardióide que além disso nos dar os meios para o estudo