A GEometria Analítica

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Digite Polygon[O,A,C,B] para criar um polígono cujos vertices são O, A, C e B. Não se espante pelo fato de os vértices não estarem em ordem alfabética. Mova livremente os pontos A e B e observe. Que quadrilátero é esse? Você entende o significado geométrico desta soma?

Subtração de pares ordenados

O que acontece quando subtraímos os pares ordenados de dois pontos?

Explore esta situação no GeoGebra. Apague o ponto C e digite no campo de entrada: D = A – B.

Note que D = A – B corresponde a D = A + (-B). O que vem a ser –B? Reflita.

Multiplicação de pares ordenados por número real

Considere k um número real.

k(x, y) = (kx, ky)

Apague os pontos B e D e digite no campo de entrada:

P = k*A

O programa vai perguntar se você quer criar um controle deslizante (slider). Aceite a sugestão e observe o que acontece enquanto você altera o valor do parâmetro k. Você lembra da transformação de um ponto por homotetia? Qual é o ponto transformado e qual é o centro de homotetia?

Apague o ponto P e digite no campo de entrada:

P = Dilate[A,k,O]

Como poderíamos alterar o centro de homotetia? O que deveria ser modificado em P=k*A? Reflita.

Vetores

Um vetor é segmento orientado de comprimento (modulo), direção e sentido específico. Em geral, todo vetor v do plano cartesiano pode ser associado a um par ordenado (a,b) do ².[pic 1]

Digite no campo de entrada:

O = (0,0) :: origem dos eixos x e y

A = (2,1) :: Ponto A

u = (2,1) :: Vetor a

Ao digitar u = Vector[(2,1)], ou u = Vector[A], você obtém o mesmo resultado de u = (2,1).

A diferença entre dois pontos define um novo vetor cujas componentes correspondem à diferença das coordenadas destes pontos.

u = (x2-x1,y2-y1)

u = = B – A[pic 2]

Mantenha o ponto A e digite no campo de entrada:

B = (4,5)

u = Vector[A,B]

Faça outro experimento:

C = (-4,-1)

D = (-2,3)

v = Vector[C,D]

Observe na janela de álgebra que u equivale a v. B - A = D – C.

Ao digitar u = B - A você obtém mesmo resultado que u = (x(B)-x(A),y(B)-y(A)), mas o vetor agora parte da origem. Apague u e digite w = D – C. Note que v = u = z.

Soma de vetores

Considere os vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2). A soma u + v corresponde à soma dos pares ordenados associados a u e v. u + v = (x1+x2, y1+y2)

Observe as últimas figuras da página 7 do livro texto.

Apague todos os objetos prévios e digite no campo de entrada:

O = (0,0)

A = (1,1)

B = (3,2)

C = (2,6)

u = Vector[A,B]

v = Vector[B,C]

z = Vector[A,C] ; z corresponde à soma de u = com v = [pic 3][pic 4]

w = u + v ; note que os vetores z e w são iguais (suas componentes são iguais)

Multiplicação de vetor por número real

Considere k um número real.

k(x, y) = (kx, ky)

Apague todos os objetos prévios e digite no campo de entrada:

O=(0,0)

v = (5,2)

u = k*v e u = Dilate [v,k] geram o mesmo resultado.

O programa vai perguntar se você quer criar um controle deslizante (slider). Aceite a sugestão e observe o que acontece enquanto você altera o valor do parâmetro k. Você lembra da transformação de um ponto por homotetia? Qual é o ponto transformado e qual é o centro de homotetia? Compare a animação interativa com as figuras da página 8 do livro texto.

Ponto que divide um segmento AB

Problemas os quais solicitam a determinação de um ou mais pontos que dividem um segmento de extremidades A =(x1,y1) e B=(x2,y2) podem ser resolvidos a partir do mesmo procedimento. Leia os enunciados a seguir:

1. Obter os pontos que dividem em três partes iguais o segmento de extremidades A(2,4) e B(8,5).

2. Obter os pontos que dividem em quatro partes iguais o segmento de extremidades A(-3,2) e B(6,-7).

3. Obter os pontos que dividem em cinco partes iguais o segmento de extremidades A(1,0) e B(-3,8).

4. Obter os pontos que dividem em seis partes iguais o segmento de extremidades A(2,-1) e B(-4,5).

Observe a figura abaixo. P é um ponto móvel que pertence a um segmento de extremidades A e B. Sendo v = AB e u = AP, podemos garantir que u = k*v. O parâmetro k varia de 0 a 1 em. Quando k = 0, o ponto P coincide com A. Quando k = 1, o ponto P coincide com B. Quando k = 1/2, o ponto P é médio do segmento AB. Quando k = 1/3, o ponto P divide o segmento AB na razão 1:2.[pic 5]

[pic 6]

A = (x1, y1) B = (x2, y2) P = (x, y)

v = AB = B – A

u = AP = P – A

u = k*v