Engenharia Civil – Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Discussão dos Sistemas Lineares

Discutir um sistema linear S significa efetuar um estudo de S visando a classificá-lo segunda a definição: dizemos que um sistema linear S é incompatível se S não admite nenhuma solução. Um sistema linear que admite uma única solução é chamado compatível determinado. Se um sistema linear S admitir mais do que uma solução então ele recebe o nome de compatível indeterminado.

Para resolver, faremos como já visto acima, o escalonamento e, retiradas as equações do tipo 0 = 0, restam p equações com n incógnitas.

- Se a última das equações restantes é então o sistema é incompatível;[pic 33]

Caso contrário, sobram duas alternativas:

- Se p = n o sistema é compatível determinado;

- Se p compatível indeterminado.

Exemplos:

1) Resolver por escalonamento e discutir os seguintes sistemas:

a) [pic 34]

b) [pic 35]

c) [pic 36]

Exercícios:

[pic 37]

2) Resolver por escalonamento e discutir os seguintes sistemas:

a) [pic 38]

b) [pic 39]

ESPAÇO VETORIAL

Sabemos que para um conjunto ser espaço vetorial existem algumas condições, propriedades da definição. Logo, resolva cada exercício abaixo verificando se as condições, propriedades da definição são válidas.

Exemplos:

1) é um espaço vetorial trivial.[pic 40]

, com as operações:[pic 41]

é um espaço vetorial?[pic 42]

1– [pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

2 – [pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

3 – [pic 51]

[pic 52]

4 – [pic 53]

[pic 54]

5 – [pic 55]

[pic 56]

6 – [pic 57]

[pic 58]

7- [pic 59]

[pic 60]

8 - [pic 61]

[pic 62]

2) No conjunto definamos “adição” assim: [pic 63][pic 64]

e multiplicação por escalares como no ℜ², ou seja, para cada a , [pic 65][pic 66]

Nessas condições V é um espaço vetorial sobre ℜ? Por quê?

COMBINAÇÃO LINEAR

É escrever um vetor em função de outros vetores, que foram multiplicados por um escalar e, somados posteriormente.

Exemplos:

1) Escrever o vetor v = (-4, -18, 7) como combinação linear dos vetores [pic 67]

2) Determinar a condição para x, y e z de modo que (x, y, z) seja combinação linear dos vetores [pic 68]

Exercícios:

1) Verifique se as matrizes quadradas de ordem 2 formam um E.V. com as operações usuais.

2) Verifique quais deles são espaços vetoriais:

a) [pic 69]

[pic 70]

b) [pic 71]

3) Escrever o vetor 0 ∈ ℜ² (0,0), como combinação linear dos vetores u = (1,3) e v = (2,6).

4) Sejam os vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4) em escrever o vetor w = (7, -11, 2) como combinação linear de u e v.[pic 72]

ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS

Definição: Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe S contido em V, finito de maneira que V = [S]. Onde S representa um conjunto de vetores. Exs.: [pic 73]

Obs.:

[S]: Conjunto formado por uma combinação linear de S,

S: Conjunto Gerador de V.

Exemplos:

1) Mostre que ℜ³ é finitamente gerado por [pic 74]

2) Mostre que P2(t) é gerado por [pic 75]

Exercícios:

1) Determinar os subconjuntos do ℜ³ gerados pelos seguintes conjuntos:

a) [pic 76]

b) [pic 77]

c) [pic 78]

DEPENDÊNCIA LINEAR

Definição: Dizemos que um conjunto em V, onde V é um espaço vetorial, é Linearmente Independente (LI), se, e somente se, uma igualdade do tipo:[pic 79]

, (1)[pic 80]

com os , só for possível para , ou seja, todos os escalares são iguais a ZERO.[pic 81][pic 82]

Se for possível encontrar a igualdade sem que todos os escalares forem nulos, iguais a zero, diz-se que o conjunto U é Linearmente Dependente (LD).

Exemplos:

1) Classifique os seguintes conjuntos em L.I. ou L.D., em ℜ³.