Projeto de um sistema de controle PI E PID pela técnica de análise do lugar das raízes

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Figura 07: root locus do sistema

Aplicando-se o novo valor do ganho no circuito simulado do Simulink, obteve-se as seguintes respostas:

[pic 40]

Figura08: resposta ao degrau unitário do sistema com ξ=0,788

[pic 41]

Figura 09: Overshoot do sistema com ξ=0,788.

[pic 42]

Figura 10: tempo de estabelecimento do sistema para ξ=0,788

Percebe-se então após as análises que com ζ=0,788 e Kc=0,89 conseguimos um controlador com sobre sinal menor que 5% e tempo de estabilização de 8,7 segundos, atendendo assim a todos os requisitos. Variando-se o valor de K e consequentemente do coeficiente de amortecimento do sistema, notou-se que era mais apropriado para atender as especificações do sistema, fazer o sistema se estabilizar antes do over shoot. Ou seja, fazendo o over shoot ficar o mais próximo possível, porém, abaixo de 2%. Isso porque quanto menor o valor de ζ, maior o tempo de subida, e de maneira reversa, quanto maior o valor de ζ, menor o tempo de subida. Se o over shoot do sistema fosse maior que os 2%, para o sistema projetado o tempo de acomodação seria bem maior, ele teria que ser obtido bem depois do over shoot e consequentemente seria maior. Então a forma final do Controlador PI ficou da Seguinte maneira:

[pic 43]

- PROJETANDO O PID:

Para atender as especificações, temos os seguintes dados:

,,,[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Para atender a condição de estabilidade situa-se o polo na origem. Colocamos um zero no semi-plano esquerdo entre os dois polos para atrair os ramos de root locus para o lado esquerdo do plano complexo, o que acaba resultado em um projeto mais seguro em termos de estabilidade. Para eliminar o ramo de root locus que causa instabilidade no sistema, será calculada a posição do outro zero, que por inspeção do sistema vai está alocado no semipleno direito, eliminando desta forma o ramo do root locus que causa instabilidade. Um dos zeros do PID foi alocado em S= -3,0 e outro polo foi alocados em S= -30,0. Este polo foi alocado em uma posição que é dez vezes maior a posição do zero alocado. Ele foi alocado para reduzir a instabilidade do sistema, pois sem este polo, o sistema ficaria com um polinômio de terceiro grau no numerador e no denominador, e isto é indesejável no projeto. Assim:

[pic 50]

Esta função de transferência tem que satisfazer a condição de ângulo com relação aos polos desejados, para que os ramos de root locus passem por estes polos, portanto:

[pic 51]

[pic 52]

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158,52[pic 55][pic 56]

Com isso podemos determinar a posição X.

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Determinado o valor de X, podemos determinar o valor do ganho (Kc) através da condição de modulo :

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[pic 60]

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Assim, podemos determinar o seu root locus para uma posterior analise verificando se os requisitos estão sendo atendidos.

[pic 63]

Figura 11: Root locus do sistema

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Figura 12: Root Locus do PID com ζ= 0.7

Como pode ser visto os cálculos são semelhantes aos dados apresentados pelo root locus do sistema. A figura anterior demonstra estas especificações. Aplicando-se o degrau ao sistema, obtem-se as seguintes respostas:

[pic 65]

Figura 13: Resposta ao degrau do sistema original para o ganho de K=18.22.

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Figura 14: Over-Shoot do PID, K=18.22

Como foi visto o sistema não atende as condições, desta forma os parâmetros, como o ganho foram alterados. Obtiveram-se as condições desejadas com:

,, e os polos: [pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

A figura abaixo demonstra estas especificações:

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Figura 15: root locus mostrando o novo ganho.

Aplicando-se o novo valor do ganho no circuito simulado do Simulink, obteve-se as seguintes respostas:

[pic 72]

Figura16: Resposta ao degrau do sistema compensado para o ganho de ξ=0,799

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Figura 17: Overshoot para ξ=0,799

[pic 74]

Figura 18: Tempo de estabelecimento para ξ=0,799

Percebe-se então após as análises que com ζ=0,799 e Kc=16.75 conseguimos um controlador com sobre sinal menor que 5% e tempo de estabilização de 8.9 segundos, atendendo assim a todos os requisitos. Variando-se o valor de K e consequentemente do coeficiente de amortecimento do sistema, notou-se que era mais apropriado para atender as especificações do sistema, fazer o sistema se estabilizar antes do over shoot. Ou seja, fazendo o over shoot ficar o mais próximo possível, porém, abaixo de 2%. Isso porque quanto menor o valor de ζ, maior o tempo de subida, e de maneira reversa, quanto maior o valor de ζ, menor o tempo de subida. Se o over shoot do sistema fosse maior que os 2%, para o sistema projetado o tempo de acomodação seria bem maior, ele teria que ser obtido bem depois do over shoot e consequentemente seria maior. Então a forma final do Controlador