APLICAÇÕES DA PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA NA SELEÇÃO DE UMA CARTEIRA DE INVEST

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3. Revisão Bibliográfica

3.1. Programação Matemática

A pesquisa operacional é a aplicação de métodos científicos a problemas complexos para auxiliar no processo de tomada de decisões, tais como projetar, planejar e operar sistemas que requerem alocações eficientes de recursos escassos. Alguns autores separam os modelos de pesquisa operacional em modelos de programação matemática (determinística) e modelos estocásticos (HILLIER; LIEBERMAN, 2006)

Dentro da denominada ciência e tecnologia da gestão, a programação matemática envolve a observação e definição de um sistema real e a construção de um modelo científico para solução e consequente otimização. Este modelo abstrato deve ser detalhado para captar elementos essenciais e representar o sistema real em situações de causa e efeito, por outro lado, deve ser simples para solução e síntese de resultados.

A figura 1 ilustra um processo simplificado da abordagem de solução de um problema usando a programação matemática (otimização). A formulação (modelagem) define as variáveis e a relações matemáticas para descrever o comportamento relevante do sistema ou problema real. A dedução (análise) aplica técnicas matemáticas e tecnologia para resolver o modelo matemático e visualizar quais conclusões ele sugere. A interpretação (inferência) argumenta que as conclusões retiradas do modelo têm significado suficiente para inferir conclusões ou decisões para o problema real.

[pic 1]

Figura 1 – Modelagem na Programação Matemática

Hillier & Lieberman (2006) postulam que os modelos de programação matemática (otimização matemática) têm um papel destacado na pesquisa operacional. Para um dado problema, um modelo de programação matemática representa alternativas ou escolhas desse problema como variáveis de decisão, e procura valores dessas variáveis de decisão, chamadas funções objetivos, sujeito a restrições sobre os possíveis valores dessas várias de decisão. A forma geral de um modelo de programação matemática é:

Maximizar/ minimizar f(x1,x2,...xn)

Sujeito a restrições ( por exemplo, g(x1,x2,...xn) > OU

Exemplos de modelos de programação matemática são os de programação linear, em que todas as funções do problema (como f e g acima) são lineares nas variáveis (x1 a xn), e as variáveis podem assumir valores contínuos. Já os modelos de programação discreta (otimização binária, inteira), em que as funções são lineares nas variáveis só podem assumir valores inteiros. Os problemas de programação não-linear são caracterizados pela não linearidade da função objetivo e/ou das restrições.

De acordo com Hillier e Lieberman (2006), os problemas práticos de otimização frequentemente envolvem comportamento não linear, que tem que ser levado em consideração. Às vezes é possível reformular estas não linearidades para ajustar a um formato de programação linear. Entretanto, a melhor abordagem, é usar uma formulação de programação não linear.

Em problemas financeiros envolvendo Teoria do Portfólio temos o uso da programação quadrática e da metodologia de programação (não-linear) paramétrica. Diferentemente do método simplex para programação linear, não existe nenhum algoritmo eficiente de proposito genérico que possa ser usado para resolver todos os problemas programação não-linear. Contudo, os constantes avanços computacionais vêm facilitando a solução dos problemas, deixando para os pesquisadores um maior foco na modelagem e na análise dos resultados, conforme acontece, por exemplo, nas aplicações da programação não-linear na Moderna Teoria das Carteiras (HILLIER; LIEBERMAN, 2006).

3.2. A Teoria do Portfólio

O grande marco teórico do gerenciamento de diversos ativos (portfólio), ocorreu com Harry Markowitz (1952) em seu artigo “Portfolio Selection”, onde ele evidenciou a relação entre dois fatores para o investidor: risco e retornos esperados. Influenciado pelos estudos sobre incerteza de Neumann, Friedman, Savage e Willian, ele verificou que as decisões de seleção de ativos não deveriam estar baseadas apenas nos retornos esperados, mas também nos riscos envolvidos tanto individualmente quanto em conjunto, baseado nas correlações entre os ativos (DAMODARAN, 1996).

Segundo Damodaran (1996), a crença de que a diversificação era benéfica aos investidores já estava em curso bem antes de Markowitz. A revista britânica Financial Review of Reviews de 1909 usou correlações entre títulos para defender o argumento de que os investidores deveriam dividir suas apostas e de que uma carteira diversificada ofereceria menos riscos do que o investimento em um único título, sem implicar em retornos diferentes. Contundo, Markowitz alterou a maneira como pensamos sobre riscos ao vincular a variabilidade presente de uma carteira de investimentos aos co-movimentos entre os ativos individuais naquela carteira.

Uma das maiores contribuições dos estudos de Markowitz foi ressaltar a importância da diversificação, conceito contestado por importantes acadêmicos. O conceito da diversificação deriva da observação de que os preços dos ativos financeiros não se movem de modo exatamente conjunto. Ou, dizendo de outra forma, eles possuem uma correlação imperfeita. Nesta condição, a variância total de uma carteira será reduzida pelo fato de que a variação no preço individual de um ativo é compensada por variações complementares nos demais.

A Gráfico 2, a seguir, mostra que: quando a correlação é perfeitamente positiva, não existe benefício na diversificação; quando a correlação e perfeitamente negativa, obtém-se o melhor benefício possível na diversificação; quando a correlação fica no intervalo entre -1 e +1, obtém-se também algum benefício. Tais constatações podem se verificadas matematicamente pela equação da variância total da carteira:

[pic 2]

Sendo a correlação entre dois ativos ( igual à covariância dividida pelo desvio padrão de cada elemento (, podemos rescrever a equação (1) da seguinte forma:[pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6]

Em teoria da probabilidade e na estatística, a covariância, ou variância conjunta, é uma medida do grau de interdependência (ou inter-relação) numérica entre duas variáveis aleatórias . Assim,