Notas de Aula de Cálculo I Para o Curso de Tecnólogo em Processos Químicos.

...

Q = {x | x = [pic 5], p e q [pic 6] Z e q [pic 7]0}

Ex.: [pic 8][pic 9] Q, [pic 10] [pic 11] Q, 0,3 [pic 12] Q, [pic 13] [pic 14] Q, [pic 15] [pic 16] Q, [pic 17][pic 18] Q, 0,[pic 19] [pic 20] Q e [pic 21] [pic 22] Q.

Exemplo 1.1 Prove que: se a e b são números racionais quaisquer, também o são a+b, [pic 23] [pic 24] e [pic 25].

Exemplo 1.2 Prove que: se a [pic 26] é tal que a [pic 27]

Certifique-se de que N[pic 28]Z[pic 29]Q. Voltando à construção dos números reais, temos que nos perguntar, neste momento, se os números racionais são suficientes para “preencher” toda a reta real. A resposta é não! Existem números que não são o resultado da divisão de dois números inteiros e, portanto, não podem ser racionais. A essa categoria chamamos de irracionais

(I) ou R\Q.

O professor, a seu critério, poderá discorrer sobre o tema (escolher o caminho que achar ideal).

Provaremos que o número x que satisfaz a equação [pic 30] não pode ser racional.

Admitamos, sem perda de generalidade, que x>o. Admitamos também que x seja racional, isto é, [pic 31]com q [pic 32] e p e q inteiros.

Se [pic 33] e [pic 34], temos então [pic 35]. Ora, esta última igualdade nos conduz a uma( contradição). De fato, os inteiros [pic 36] e [pic 37]contêm cada um dos seus fatores primos um número par de vezes, pois estão elevados ao quadrado. Por conseguinte, [pic 38]contém um número ímpar de fatores e assim não pode ser igual a [pic 39](peça a seu professor para esgotar esta discussão).

Tente compreender a existência desse número e sua natureza distinta dos racionais.

DICA: Em virtude do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo isósceles de lado unitário, teremos:

[a]

[pic 40][pic 41][pic 42]

B 1 A

A hipotenusa [pic 43] tem medida x, tal que x² =2, ou seja, x=[pic 44]. Desta forma podemos naturalmente admitir que haja um lugar na reta reservado para o número[pic 45][pic 46]

- Intervalos

Sejam a e b dois números reais quaisquer com a [pic 47] ,é qualquer um dos conjuntos abaixo:

{a, b} = {x [pic 48][pic 49]І a x b}

[pic 50][pic 51]

Intervalo Fechado (limitado) de extremos a e b.

[pic 52] [pic 53]

CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS

Intervalo fechado à esquerda a e aberto à direita em b.

[pic 54][pic 55]

Intervalo não limitado à direita.[pic 56]

Reflita você os demais intervalos.

Exercícios

Exercício 1.1 A desigualdade x

a) Se x 0, então ax

b) Se x o, então ax > ay.

c) Se 0

d) Se 0 [pic 57][pic 58]> 0[pic 59]e [pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

e) Se x [pic 64] [pic 65], então x + a [pic 66].

Exercício 1.2 Sejam P e Q dois pontos quaisquer tais que abs(P) = x e abs(Q) = y. Determine a distância entre P e Q nos seguintes casos:

a) x = 1 e y = 2 c) x = 0 e y = -3

b) x = -2 e y = 8 d) x = -1997 e y = 9998

Exercício 1.3 Tente compreender que a distância entre dois pontos P e Q do exercício anterior é y – x se y > x.

Exercício 1.4 Em matemática, se define IxI, “módulo de x” ou “valor absoluto de x”, da seguinte maneira:

x , para x > 0

IxI = 0 , para x = 0

- x , para x

Desta forma:

I5I = 5; I0I = 0; I-1I = 1.

Dê o significado geométrico de IxI na reta.

Exercício 1.5 Generalize o exercício anterior e verifique que a distância entre os pontos Pe Q x e y é dado por I x – y I, independentemente de se conhecer informações sobre estes números.

Exercício 1.5 Prove que se a e b são números reais com a [pic 67] está localizado entre a e b e a igual distância de ambos.

Exercício 1.6[pic 68] Resolva as equações:

a) IxI = 3 c) IxI = 0 e) Ix² - 5I = 1

b) Ix -1I = 2 d) I2x - 3I = 5

Exercício 1.7 Resolva as inequações com base na interpretação geométrica de IxI.

a) IxI 2 e) I x – 1 I 4

b) IxI 3 d) IxI > 2 f) I x – 3 I > 2 h) I 3x – 5 I > 2

Exercício 1.8 Com respeito aos intervalos dos itens abaixo, determine os valores máximo e mínimo, caso existam.

a) [2,3] c) [3,+∞) e) [3, [pic 69] [

b) ]2,5[ d) (-∞,5[

Exercício 1.9 Prove que, para todo inteiro n > 1 e para todo x [pic 70]0, com x > -1, tem-se:

(1 + x)[pic 71]>1 + nx.

Ex.: (1 + x)³ > 1 + 3x e (1 + x)[pic 72]>1 + 4x.

Exercício 1.10 Prove que se x > 1, então as potências sucessivas x, x², x³...crescem e podem vir a superar qualquer número fixado de antemão. Mais precisamente, se x > 1 então, dado qualquer número a >0, é possível obter um inteiro n tal que x[pic 73] > a.

Exercício 1.11 Seja 0 [pic