Trabalho de Elementos II - Matematica
Por: eduardamaia17 • 21/10/2018 • 749 Palavras (3 Páginas) • 405 Visualizações
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II) – Substituindo a solução encontrada na equação original, tem-se:
Xn + 1 = (n + 1) . Xn + n
(n + 1)! Yn + 1 = (n + 1) . n!yn +n => dividindo tudo por ( n+ 1)!
Yn +1 = yn + n/(n + 1)!
III) – Encontrar solução, Yn , para a recorrência em Y
Yn +1 = Yn + n/(n + 1)!
Y2 = Y1 + 1/(1 + 1)! = Y1 + 1/2!
Y3 = Y2 + 2/(2 + 1)! = Y2 + 2/3!
... ... ... ...
Yn = Yn – 1 + (n-1)/(n-1+1)! = Yn-1 + (n-1)/n!
Somando e eliminando as parcelas iguais, temos:
Y2 = Y1 + 1/2!
Y3 = Y2 + 2/3!
... ... ...
Yn = Yn -1 + ( n – 1 )/n!
Yn = Y1 + 1/2! + 2/3! + ... + (n – 1)/n!
A soma 1/2! + 2/3! + ... + (n – 1)/n! pode ser rearranjada:
(1/1! – 1/2!) + (1/2! – 1/3!) + ... + [1/(n-1)! – 1/n!] nesse caso podemos simplificar eliminando os termos de sinais contrários:
= (1/1! – 1/2! ) + (1/2! – 1/3! ) + ... + [1/(n-1) ! - 1/n! ]
= 1/1! – 1/n!
= 1 – 1/n!
Portanto, Yn = Y1 + 1 – 1/n!
Calculando Y1 , em Xn = n!Yn :
X1 = 1!Y1 => como X1 = 1 segue que => Y1 = 1
Conclui – se que :
Yn = 1 + 1 – 1/n!
Yn = 2 – 1/n! (Cqd)
IV ) – agora vamos encontrar Xn em função de n substituindo o valor de Yn na solução particular do 1º passo:
Xn = n!Yn
Xn = n!(2 – 1 /n!)
Xn = 2n! – 1
(c) Xn + 1 = 2.Xn + 1, com X1 = 1
SOLUÇÂO:
Xn + 1 = 2.Xn + 1
X2 = 2.X1 + 1
X3 = 2.X2 + 1
X4 = 2 . X3 + 1
... ... ...
Xn = 2.Xn-1 + 1
2n-2.X2 = 2n-2.2.X1 + 2n-2.1
2n-3.X3 = 2n-3.2.X2 + 2n-3.1
... ... ...
22.Xn-2 = 22.2.Xn-3 + 22.1
21.Xn- 1 = 21.2.Xn-2 + 21.1
Xn = 2.Xn-1 + 1
Xn = 2n-2 .2.X1 + 2n-2 + 2n-3 + ... + 22 + 21 + 1
Sendo x1 = 1
Xn = 2n-1 + Xn-2+ 2n-3 + ... + 22 + 21 + 1 =>
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