TEORIA DE GRUPOS: Grupos associados a Formas Bilineares e Sesquilineares

...

[pic 17]

Para um dado operador A, real ou complexo, de acordo com a forma a ele associada. Em Rn ,caso ao qual temos Forma Bilineares, definimos [pic 18] como sendo o conjunto de todas as matrizes reais M inversíveis que satisfazem a relação fundamental:

[pic 19].

Para todo x, y de Rn . É fácil constatar que [pic 20] constitui um grupo na operação usual de multiplicação, i.é: satisfazem as propriedades, por exemplo:

- Obviamente seu Elemento Neutro é a própria E (identidade)

Mx=Ex=x

-Fechamento: Sejam M1 e M2 pertencentes a [pic 21]. A operação M1.M2 nos retornara um elemento pertencente a [pic 22]?

A resposta é sim, pois, podemos escrever:

[pic 23]

De maneira muito simples, também podemos mostrar a existência do Elemento Inverso para cada M desse conjunto; seja, Vamos olhar se M-1 pertence ao conjunto [pic 24]; de fato, podemos escrever:

[pic 25]

E sabemos que o produto usual de matrizes é Associativo, o que dá a [pic 26] o “status” de Grupo.

Antes de partir para exemplos mais concretos, vamos considerar V≡Rn o espaço ao qual a Forma mais geral da nossa aplicação Bilinear é:

[pic 27]

Portanto, dado o espaço vetorial V e a aplicação ωA que nele atua, associamos novamente um Grupo que iremos denotar por:

[pic 28]

As matrizes M e A envolvidas satisfazem a condição (vínculo) de preservar a Bilinearidade se:

[pic 29]

Levando-nos a concluir que [pic 30] é de fato um grupo que mantém invariante a Forma Bilinear [pic 31] a menos de uma transformação de semelhança:

[pic 32]

Dessa forma, obtemos que o grupo GL, cuja Forma Bilinear mais geral

[pic 33],

Pode ser descrito por:

[pic 34] .

[pic 35]

o grupo assim definido, conforme podemos notar, preserva o produto escalar usual.

Como outro exemplo interessante, vamos considerar que a matriz A que aparece na própria definição de Forma Bilinear, i. e, [pic 36]possua uma inversa, ou seja, consideramos também que det.(A)≠0. Nesse caso, podemos escrever:

[pic 37]

Dessa forma, no caso da matriz A ser inversível, podemos caracterizar o Grupo em questão por:

[pic 38]

Vamos considerar o caso mais simples: Desejamos obter o grupo cuja Forma Bilinear dada por [pic 39]seja preservada, com A≡E. Nesse caso obtemos:

[pic 40].

O grupo assim definido, conforme podemos notar, preserva o produto escalar usual e usualmente, denotamos o grupo acima por O(n), “Grupo Ortogonal”.

[pic 41]

É simples mostrar que esse grupo é formado por matrizes com determinantes unimodulares, ou seja, [pic 42]. Esse fato permite-nos introduzir mais uma definição importante, a saber: Definir o Sub-Grupo SO(n) de O(n), ou seja, [pic 43]definido por:

[pic 44]

Que é o Special Ortogonal Group Grupo especial ortogonal o qual leva o adjetivo “especial” devido ao fato de seu determinante ser a unidade.

Vamos agora investigar as Formas Sesquilineares, as quais são definidas em Espaços Vetoriais complexos; O raciocínio é feito de maneira totalmente análoga ao que foi feito para os espaços vetoriais sobre R. Veremos que o grupo assim definido será o SU(n) que é de suma importância na Mecânica Quântica. Consideremos agora o grupo

[pic 45]

Vamos investigar as propriedades de M necessárias para preservar a Forma Sesquilinear definida no grupo acima; temos:

[pic 46]

Portanto o grupo acima preserva a Forma Sesquilinear, se M satisfazer a