Aplicação de Vetores na Geometria Analítica

...

O presente trabalho tem como alvo explanar fatos históricos que estruturaram os estudos vetoriais de forma a expressar junto as aplicações analíticas, a importância do formalismo matemático, mostrando através da teoria e da prática a necessidade de vetores tanto no ensino básico, como no ensino superior. Desse modo, o trabalho será assim evidenciado, por 2 capítulos:

No 1º capítulo, são abordados fatos históricos que trazem a construção dos estudos vetoriais e, ao lado desses estudos, formulações que nos revelam os estudos remanescentes e propiciam novos fatos que ajudam a compreender melhor a geometria analítica. Já no 2º capítulo, será abordado de uma forma o tanto quanto aprofundada, alguns conceitos analíticos, de maneira que se possam apresentar aplicações vetoriais, ressaltando a importância do uso de vetores para diversas áreas pertinentes a geometria analítica.

---------------------------------------------------------------

1. BREVE CONTEXTO HISTÓRICO SOBRE VETORES

Segundo Venturi (2015), a história da matemática raramente apresenta eventos bombásticos. E as formulações, primeiramente leves e difusas, cursam um espinhoso caminho até alcançar a amplitude de seu desenvolvimento. Ele afirma que o conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro flamengo Simon Stevin-o, considerado o Arquimedes holandês. Este engenheiro, por volta de 1586 apresentou em seus estudos sobre Estática e hidrostática, o problema da conciliação de forças e emitiu uma regra empírica para se achar a soma de duas forças sobrepostas num mesmo ponto. Tal princípio, conhecido como regra do paralelogramo.

Venturi (2015), também afirma que os vetores surgiram considerados como "linhas dirigidas" em uma obra publicada em 1797, por Wessel, matemático de origem dinamarquesa. Venturi (2015) assegura que a organização da teoria vetorial ocorreu rigorosamente no século XIX com os trabalhos do irlandês William Hamilton (de forma precoce, pois aos 5 anos já lia grego, latim e hebraico), do alemão Hermann Grassmann e do físico norte-americano Josiah Gibbs.

O uso de vetores e seus esboços metódicos ocorreram em meados do século XIX, como afirmado por Venturi (2015). E Tendo surgido nas primeiras décadas desse século, se evidenciou com as representações geométricas dos números complexos.

Este capítulo aborda um pouco do contexto histórico sobre estudos matemáticos relacionados aos vetores, denotando noções cruciais que formularam a evolução das representações geométricas, que serviram de ferramenta para a construção e desenvolvimento das mesmas. Noções estas, que contribuirão para uma melhor compreensão das aplicações analíticas que focalizam o trabalho aqui apresentado.

-

Desenvolvimento da Representação Geométrica

Inicialmente, procura-se aqui apresentar alguns elementos básicos sobre como se deram as construções empíricas e os passos primários da ciência nos estudos dos vetores. Vários argumentos históricos e as formalizações dos mesmos serão utilizados em tais aplicações, para que se tenha não só uma noção prática, mas também teórica do trabalho aqui apresentado.

Com o passar dos tempos fomos presenteados com os descobrimentos de grandes estudiosos, que arquitetaram a partir da lei do paralelogramo para a adição de vetores, que consiste em posicionar a origem de apenas dois vetores no mesmo ponto e traçar uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro. O vetor soma, ou vetor resultante, será o vetor que une a origem dos dois vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, formando assim um paralelogramo. Esclarecimentos como esse, por não serem tão formais, não conseguem expressar diretamente o conceito de vetor. Por isso, ano após ano os grandes estudiosos matemáticos foram tentando se superar e desenvolver cada vez mais o estudo geométrico através de vetores, para facilitar a compreensão de todos sobre um assunto muito complexo até então. E Winterle (2011) destaca a importância de vetores na compreensão de outros campos matemáticos, assim como na geometria, pois segundo ele, “uma vez que, além de relacionarem as representações algébricas com entes geométricos, visam desenvolver habilidades como raciocínio lógico e visão espacial.” (p.8).

Para Sánchez (2007), os grandes estudiosos da Grécia antiga também se atentavam ao estudo do movimento dos corpos, que eram ponderados por meio de apreciações geométricas. Alguns dos escritos de Aristóteles (384 a 322 a.C.) mostram que ele tinha a noção de composição de movimentos. Nesses escritos, ele enuncia de forma axiomática que a força que movimenta um corpo é colinear com a direção do movimento de um corpo, algo que hoje é bastante usado na física e na engenharia por meio de equações das quais se usam letras para representar dados geométricos.

Por muito tempo a geometria analítica vem se desenvolvendo e desencadeando novos conceitos para a evolução da matemática, porém, esse desenvolvimento foi obtido por muitas vezes sem as ferramentas necessárias, onde se ressaltavam apenas propriedades geométricas, tornando assim, várias destas propriedades limitadas, por isso muitas das aplicações analíticas não puderam ser estudadas e representadas, devido à falta de considerações matemáticas, até então, não desenvolvidas.

Outro grande matemático que contribui para grandes avanços quanto às representações geométricas através de fórmulas foi Isaac Newton (1805-1865), que mesmo sem grandes instrumentos para desenvolver seus métodos, devido à época, conseguiu criar vários fatores que elevaram o nível da matemática a um grau altíssimo com o passar dos anos. Seu trabalho sobre cálculo foi descrito como "Um Trabalho distinto, que avançou cada ramo da matemática". E para Carvalho (2000, p.28), o método matemático elaborado por Newton permitia converter os princípios verificados através da observação em resultados quantitativos, e chegar igualmente aos princípios geométrico-analíticos pela observação. Ou seja, por uma simples observação geométrica do espaço em que ele se encontrava, ele conseguia avaliar tudo isso através de relações que concretizavam estes acontecimentos por meio de fórmulas matemáticas. Por essas e outras coisas ele é considerado um dos grandes idealizadores do estudo sobre geometria analítica, e essas idealizações culminaram para que ele pudesse introduzir o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral tanto usado nos dias de hoje