A Combinação Linear

...

(x, y, z) = (a1, 0, 0) + (0, 0, a2) = (a1, 0, a2) ∴ x = a1

y = 0

z = a2

S = { (x, y, z) ∈ ℜ3 / y = 0 }

S = { (x, o, z) ∈ ℜ3 / x, z ∈ℜ }

Obs.: S é o plano xz

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Definição. Seja V um espaço vetorial e V. Dizemos que o conjunto A={} é linearmente independente (LI) ou os vetores são L.I. se a equação: ℜ implica que .

No caso em que exista algum é linearmente dependente (LD) ou que os vetores v1, v2, ... , vn são L.D.

Em outras palavras, seja um conjunto de vetores de mesma dimensão:

[pic 20]

Se a única combinação linear que resulte no vetor nulo

[pic 21]

for a trivial, isto é, aquela em que os coeficientes são nulos:

[pic 22]

então dizemos que os vetores vN são linearmente independentes. Por outro lado, se houver alguma combinação que produza o vetor nulo, em que os coeficientes não se anulam, então dizemos que os vetores vN são linearmente dependentes.

Exemplos em R3:

- v1 e v2 são dependentes se estão na mesma linha.

- v1, v2, v3 no mesmo plano são dependentes.

- v1, v2, v3 e v4 são sempre dependentes em R3.

Exercícios:

Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.

- A = { (3, 1), (1, 2) }, V = ℜ2

[pic 23]

- A = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (2, 4, 0) }

a1(1, 2, 0) + a2(0, 1, 1) + a3(2, 4, 0) = (0, 0, 0)

[pic 24]

- A = { (2, 4), (6, 12) }

a1(2, 4) + a2(6, 12) = (0, 0)

[pic 25]

Obs. 1: Sempre que o conjunto A tiver elementos múltiplos, teremos um conjunto L.D.

No caso anterior, [pic 26].

- A = { (1, 0, 2), (2, 0, 4) } é L.D.

[pic 27]

- A = { (0, 0, 0), (2, 3, 4), (5, 6, 7) } [pic 28]

- [pic 29]

Obs. 2: Para gerar o V = ℜ2 é preciso de 2 vetores

Para gerar o V = ℜ3 é preciso de 3 vetores

Para gerar o V = M2X2 é preciso de 4 vetores

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

BASES E DIMENSÕES

Definição. Se V é um espaço vetorial qualquer e S = {v1, v2, ..., vn} é um conjunto de vetores em V, dizemos que S é uma base de V se valerem as seguintes condições:

(a) S é linearmente independente.

(b) S gera V.

Teorema

Se S = {v1, v2, ..., vn} é uma base de um espaço vetorial V, então cada vetor em V pode ser expresso da forma v = c1v1 + c2v2 + ... +cnvn de uma única maneira

Obs.

- Os vetores v1,. . .,vn são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é combinação linear dos outros.

- Se dois vetores v1,. . . ,vm, são iguais, digamos v1= v2, então os vetores são dependentes. Pois v1- v2 = 0

- Dois vetores v1 e v2 são dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.

- No espaço real R3 a dependência de vetores pode ser escrita geometricamente como segue: dois vetores quaisquer u e v são dependentes se, e somente se, estão na mesma reta passando pela origem; três vetores quaisquer u, v e w são dependentes se, e somente se, estão no mesmo plano passando pela origem

Exercícios

- Verifique se o conjunto B { (1, -1), (0, 1) } é uma base do V = ℜ2:

- B é L.I.?

a1.(1, -1) + a2.(0, 1) = (0, 0) ⇒ a1 = 0 a1 = a2 = 0 ⇒ B é L.I.[pic 33][pic 34]

-a1 + a2 = 0

- B gera o V = ℜ2 ? Devemos escrever todo e qualquer [pic 35] ∈ ℜ2 como combinação linear de [pic 36].

[pic 37].

(x, y) = a1.(1, -1) + a2.(0, 1)

x = a1 ⇒ a1 = x[pic 38]

y = -a1 + a2 ⇒ a2 = x + y

(x, y) = x.(1, -1) + (x +y) (0, 1)

Logo, B gera o ℜ2

- Verifique se B = { (2, 3), (4, 6) } é uma base do V = ℜ2 .

(B é L.D., logo não é base)

- B = { (1, 0, 1), (0, 0, 1) } é uma base de ℜ3 ?

( Não, pois precisamos de 3 vetores para gerar o ℜ3.)

- B = { (1, 0), (0, 1) } é uma base de ℜ2 ?

(Sim, e é chamada de Base Canônica)

- B = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } é uma base de ℜ3 ?

(É a base canônica do ℜ3)

Obs. 1: Sejam e1 = (1, 0, 0,..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0),..., en = (0, 0,...,1).

O conjunto B = { e1, e2,...,en) é uma base de ℜn, chamada de Base canônica do ℜn.

[pic