Verificação da Lei de Boyle

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Figura 3 – Resposta do volume à variação do inverso da pressão – Método Gráfico.

Por outro lado, utilizando o método dos mínimos quadrados, para comparação, dado que esse é – em geral – mais exato que o primeiro, obteve-se a equação mostrada na Figura 4.

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Figura 4 – Resposta do volume à variação do inverso da pressão – Método dos Mínimos Quadrados.

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DISCUSSÃO

- Tratamento estatístico dos dados experimentais

O cálculo do percentual do erro relativo mostra moderada dispersão dos dados em torno do valor médio. A Figura 5 mostra graficamente a dispersão dos valores das medidas, expresso na forma do produto PV.

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Figura 5 – Gráfico de dispersão dos dados.

Para um gás de comportamento ideal, pela equação de Clapeyron, esperava-se que os valores de PV fossem constantes. No entanto, a Figura 5 mostra o quão dispersos os dados estão do valor médio. Os desvios se devem, por exemplo, a erros na leitura dos volumes, a erros inerentes ao manômetro digital, variações no valor da temperatura. Além disso, foram registrados valores de pressão até quatro vezes maiores que a pressão atmosférica. Desse modo, a suposição do comportamento ideal pode ter comprometido os resultados.

- Relação entre as variáveis volume (V) e pressão (P)

Como mostrado na Figura 2, as variáveis volume e pressão apresentam comportamento tal que o aumento de uma delas implica diminuição da outra. Analisando os coeficientes de determinação (R²) dos três modelos matemáticos propostos – linear, polinomial (quadrático) e exponencial, vê que o modelo polinomial (quadrático) foi o que melhor se adequou aos dados.

Para um gás de comportamento ideal, o gráfico de pressão por volume, a temperatura constante, é um ramo de hipérbole equilátera rotacionada de 45º, de equação PV = c, sendo c uma constante (Lei de Boyle). Desse modo, podemos considerar . A função é analítica nos reais, exceto na origem. Desse modo, f(x) pode ser representada em série de potências pela série de Taylor:[pic 12][pic 13]

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Pode-se mostrar, por indução, que, para a função , .[pic 15][pic 16]

Assim, [pic 17]

Portanto, sendo possível expressar a função dessa forma, uma boa aproximação é utilizar um número n finito de termos dessa série, ou seja,

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Para a faixa dos dados experimentais, bastou n=2 para uma boa aproximação, dado o R² = 0,999. Os erros relatados no item anterior servem aqui também como razões para o desvio do coeficiente unitário. Além disso, a própria aproximação da série pela soma dos termos da sequência finita carrega consigo um erro. É possível ver, assim, que a suposição da idealidade do gás não afetou significativamente a relação das variáveis.

- Relação entre as variáveis volume (V) e inverso de pressão (1/P)

Como mostrado nas Figuras 3 e 4, o volume tem relação linear com o inverso da pressão. O resultado comprova a Lei de Boyle (. Utilizando o método gráfico, obteve-se a equação + 0,214. Já com o método dos mínimos quadrados, encontrou-se a equação + 0,247 e R² = 0,975. O método gráfico, mais simples, apresentou-se,nesse caso, bastante próximo ao método dos mínimos quadrados, com erro relativo no coeficiente angular de:[pic 19][pic 20][pic 21]

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As razões citadas anteriormente explicam satisfatoriamente o desvio da unidade do coeficiente de relação.

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CONCLUSÕES

A partir do estudo das variáveis de estado de um gás, comprovou-se experimentalmente a Lei de Boyle, obtendo modelos matemáticos que se aproximam satisfatoriamente, dadas as condições, das relações previstas pela citada lei. Para as variáveis P e V, foi obtida, como melhor modelo, a equação - 11,61V + 8,718,uma aproximação polinomial para a relação hiperbólica prevista. Já para as variáveis V e 1/P, obteve-se a equação + 0,214, pelo método gráfico, bastante próxima da equação gerada pelo método dos mínimos quadrados + 0,247 ,com R² = 0,975.[pic 23][pic 24][pic 25]

PROBLEMA

Considerando R = 0,082 atm.L.mol-1.K-1, utilize os dados experimentais para determinar o número de moles de ar.

Solução:

Considere o ar como tendo comportamento ideal e a temperatura,sendo 298,15K. Pela equação de Clapeyron,temos:

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Assim, na equação de regressão – obtida pelo método dos mínimos quadrados, o valor do coeficiente angular (m) corresponde à quantidade nRT. Portanto,

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