A GEOMETRIA DOS SÍMBOLOS: VISÃO GEOMÉTRICA DA ESTRELA DE DAVI E DO YIN YANG

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Figura 02

Figura 03

Já o símbolo Yin Yang é formado inteiramente por circunferências.

Na segunda fase, foram realizados os cálculos para se obter as medidas desejadas, ou seja, as medidas das áreas e dos perímetros de ambas as figuras, em sua totalidade, e a medida das áreas e do perímetro das figuras menores que compõem os devidos símbolos.

Na Estrela de Davi foram calculados as áreas e perímetros de todos os quadriláteros encontrados.

∆ABC = ∆DEF ∆AGH = ∆GEL = ∆LBK = ∆KJD = ∆JCI = ∆IFH

O ∆ABC tem lado igual a 30cm, vale lembrar que todos os triângulos encontrados na Estrela de Davi são eqüiláteros, ou seja, todos os lados do mesmo triangulo são iguais.

Calculando o valor do perímetro dos triângulos maiores, ∆ABC e ∆DEF, obtivemos:

[pic 10][pic 7][pic 8][pic 9]

Calculando o perímetro dos triângulos menores, ∆AGH, ∆GEL, ∆LBK, ∆KJD, ∆JCI e ∆IFH, obtivemos:

[pic 14][pic 11][pic 12][pic 13]

Calculando o perímetro do hexágono regular obtivemos:

[pic 18][pic 15][pic 16][pic 17]

A estrela de Davi, como já mencionado, é um hexagrama, estrela de seis pontas e possui doze lados iguais. Como visto na figura 01, a medida dos lados do hexagrama é igual á medida dos triângulos menores, que forma as pontas da estrela, que medem 10 cm de lado, assim, calculando o valor do perímetro do hexagrama, obtivemos:

[pic 22][pic 19][pic 20][pic 21]

Calculando a área dos triângulos maiores, ∆ABC e ∆DEF, obtivemos:

[pic 25][pic 23][pic 24]

cm2[pic 26][pic 27]

Calculando a área dos triângulos menores, ∆AGH, ∆GEL, ∆LBK, ∆KJD, ∆JCI e ∆IFH, obtivemos:

[pic 30][pic 28][pic 29]

cm2[pic 31][pic 32]

Um hexágono regular possui lados de medidas iguais e pode ser dividido em seis triângulos eqüiláteros iguais, assim, a medida a área de um hexágono regular é igual a seis vezes a medida da área dos triângulos eqüiláteros que o compõe. Podemos observar na figura 01, que a medida dos lados do hexágono é igual à medida dos lados dos triângulos menores, logo, a medida da área dos triângulos internos do hexágono é igual à medida das áreas dos triângulos menores da Estrela de Davi, assim, calculando a área do hexágono regular obtivemos:[pic 33]

cm2 [pic 34][pic 35]

A medida a área total a Estrela de Davi pode ser calculado de três formas: Calculando a área total da Estrela de Davi a partir das áreas dos dois triângulos maiores e da área do hexágono, obtivemos:

[pic 36]

[pic 37]

[pic 39][pic 38]

cm2[pic 40]

A outra maneira de se calcular a área deste símbolo é apenas somar as áreas de todos os triângulos menores, as 6 pontas da estrela, com a área o hexágono, assim obteremos:

[pic 41]

[pic 42]

[pic 44][pic 43]

cm2[pic 45]

Por fim, como já mencionado, a Estrela de Davi pode ser decomposta em doze triângulos eqüiláteros iguais, as seis pontas e os seis triângulos do hexágono, assim a área da figura pode, também ser calculada apenas multiplicando a área de um dos triângulos menores por 12.

[pic 46]

[pic 48][pic 47]

cm2[pic 49]

Para o símbolo Yin Yang foram legalizados os cálculos do perímetro e da área de todas as circunferências encontradas e ainda as áreas das duas metades do símbolo, o lado negro e o lado branco.

Calculando o perímetro total do símbolo, circunferência 01 indicada na figura 03, obtivemos:[pic 50]

[pic 51][pic 52][pic 53]

As circunferências 02 e 03 são iguais, assim calculando o perímetro das mesmas obtivemos:[pic 54]

[pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

As circunferências 04 e 05, também, são iguais, assim calculando o perímetro das mesmas obtivemos:[pic 59]

[pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

Para se obter o perímetro da área sombreada, , devemos somar a metade do perímetro total do símbolo, circunferência 01, mais a metade de cada uma das circunferências intermediária, circunferências 02 e 03, e como estas são iguais, basta a soma de suas metades é igual ao perímetro total de qualquer uma delas. Assim podemos calcular:[pic 65][pic 64]

[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]

Calculando a área total do símbolo, circunferência 01, obtivemos:[pic 70]

[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]

Calculando a área das circunferências 02 e 03 obtivemos:[pic 75]

[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

Calculando a área das circunferências 04 e 05 obtivemos:

[pic 84][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]

Como já mencionado anteriormente o símbolo Yin Yang é dividido ao meio por uma linha sinuosa, assim podemos confirmar que os dois lados, preto e branco, possuem areas iguis que nada mais é que a metade da medida da area total da figura. Assim obtemos:[pic 85]

[pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]

Porem, se não soubessimos que a linha divide o símbolo exatamente ao meio poderiamos calcular a area da parte sombreada, por exemplo, da seguinte forma: A area total, , menos a soma as duas areas mesnores,