MAXIMOS E MINIMOS: PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

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[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

Ambas as funções apresentam um ponto crítico e um valor zero, mas cada função é positiva a direita da origem e negativa a esquerda. Sendo assim, nenhuma delas apresenta valor extremo local na origem. Ao invés disso, existe um ponto de inflexão.

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

A partir de agora, veremos a aplicação prática dos exemplos anteriores, envolvendo máximos e mínimos.

Diversos problemas corriqueiros, onde sentimos a necessidade de maximizar o trabalho minimizando os custos, por exemplo, podem ser resolvidos aplicando esse método. Usaremos formas geométricas para aplicar as demonstrações, e, para tal, é necessário que saibamos as fórmulas de área e volume (Figura 9).

Fórmulas Geométricas

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Exemplo 1

Um terreno retangular de 50m² de área deve ser cercado, sendo que, um lado do terreno já possui proteção, quais as dimensões que a cerca de menor comprimento deverá ter?

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Solução

Façamos um esboço (Figura 10):

[pic 84][pic 85][pic 83]

[pic 86]

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[pic 88]

Usaremos para o comprimento da cerca.[pic 89]

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à restrição

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Utilizando , podemos escrever como uma função apenas de e derivá-la, igualando aos passos feitos nos exemplos anteriores de máximos e mínimos.[pic 92][pic 93][pic 94]

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Dado que o valor de será ; então o terreno com a menor cerca terá 5 metros de largura e 10 metros de comprimento.[pic 98][pic 99][pic 100]

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Exemplo 2

Um homem possui uma pedaço de papelão quadrado (Figura 11), com o comprimento de 6 metros e precisa de uma caixa que comporte o maior volume possível. Quando o volume será o máximo?

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[pic 105][pic 106][pic 107]

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[pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113]

[pic 114]

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Solução

Primeiro precisamos definir uma função e um domínio para esta função.

[pic 115]

Vamos maximizar o volume da caixa.

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Agora, derivamos e igualamos a zero.

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[pic 121]

[pic 122]

[pic 123]

Note que encontrando as raízes da função, não está compreendido em nosso domínio . Portanto, o valor de será:[pic 124][pic 125][pic 126]

[pic 127]

Sendo assim, podemos concluir que:

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[pic 129]

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O volume máximo da caixa será de 16m³.

Podemos fazer a demonstração gráfica da função do Exemplo 2:

[pic 131][pic 132]

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Exemplo 3

Um edifício de de piso deve ser construído, sendo exigido recuos de na frente e nos fundos e de nas laterais. Encontre as dimensões do lote com menor área onde esse edifício possa ser construído.[pic 133][pic 134][pic 135]

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Solução

Área do edifico:

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[pic 137]

Área do terreno:

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[pic 139]

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[pic 142]

[pic 143]

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[pic 145]

[pic 146]

[pic 147]

Para o lote de menor área:

Dimensões do edifício: [pic 148]

Dimensões do lote: [pic 149]

Concluímos que: o lote de menor área para construir o edifício deve ter de frente e de fundos e de laterias.[pic 150][pic 151]

REFERÊNCIAS

UNIVERSIDADE FEDERAL