Exploração de recursos renováveis

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[pic 14] (5)

Isso significa que o gráfico P(t) é côncavo para baixo, para e , é côncavo para cima. Dessa forma, mesmo não resolvendo a equação diferencial, podemos deduzir o comportamento qualitativo das soluções.[pic 15][pic 16]

Observamos que, se a população inicial for menor que , a população P(t) decrescerá para zero (extinção), enquanto que a população P(t) tenderá para , um valor menor que K (a população-limite sem exploração), em um tempo finito. O número é chamado de equilíbrio estável assintótico ou atrator, já que outras soluções que começam perto de se aproximam da reta horizontal ; O número é chamado de equilíbrio instável ou repulsor. Concluímos que a produção não pode ser grande demais, pois iria esgotar a fonte.[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

A partir da equação (4) foi possível observar que há duas soluções reais para G(P) = 0 se . Se ou é possível identificar, através do Gráfico 1, que dP/dt = G(P) e, desse modo, P(t) decrescerá para 0. Para , a equação tem uma única raiz P1 = (1/2)K, sendo este valor uma solução também constante. O valor de é nomeado de produção máxima sustentável (PMS), porque prevê a probabilidade de uma população constante , além de uma exploração constante igual à máxima sustentável, o que corresponde a população acrescentada anualmente em virtude da reprodução menos as mortes.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

Para situações reais os valores de r e K somente podem ser conhecidos com uma precisão de 10%. O valor de h = (1/4)rK pode ser muito grande para a produção dada, tendo como consequência um declínio em direção a extinção.

Tomando a seguinte equação

[pic 31] (6)

Sendo que

[pic 32] (7)

Aplicando o método de frações parciais e integrando, encontra-se

[pic 33] (8)

Tendo então que , da equação acima, pode-se obter a equação:[pic 34]

[pic 35] (9)

na qual . (10)[pic 36]

Diante disso, temos que quanto maior for o valor de , mais se aproxima de .[pic 37][pic 38][pic 39]

No caso em que a exploração é proporcional à população, partiremos da suposição que a exploração e a população têm uma relação de proporcionalidade. Então a partir de (3), pode-se encontrar

[pic 40] (11)

Tendo um valor positivo diferente de zero, denominado de esforço. Sabendo que se trata de uma medida relacionada à exploração de um recurso em sua fonte. Consideremos como no tópico anterior . [pic 41][pic 42]

Enquanto o esforço não ultrapassar a taxa de crescimento denotada por “”, é possível encontrar uma solução positiva . Sabemos que (11) pode ser escrita como , e percebe-se que quando e negativo caso . Com isso, temos que toda solução se aproximará da solução de equilíbrio descrita como , fazendo de um equilíbrio estável assintótico ou um atrator. [pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

A exploração de equilíbrio é, então, , pela qual percebe-se que a função dita é dependente de e tem valor máximo quando e . A partir de tais valores, o número é a produção máxima sustentável.[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

Podemos escrever a equação (11) de tal forma que esteja dentro da logística tomada como parâmetro em (9)

[pic 56] (12)

com e , obtemos a solução:[pic 57][pic 58]

[pic 59] (13)

Com isso, pela equação acima quando , a população-limite é igual a [pic 60][pic 61]

- Conclusão

- Referências Bibliográficas

ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Ed. São Paulo: PioneiraThomson Learning, 2003, p. 133-137.

THOMAS, Lucas R. O USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA MODELAGEM DE SISTEMAS NATURAIS E OUTROS. Disponível em: http://bdm.unb.br/bitstream/10483/4686/1/2013_LucasRangelThomas.pdf> Acesso em: 05 set 2017.

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