Calculo de um potencial elétrico

...

. (7)[pic 11]

Em seguida, foi calculado os campos em x e em y, Ex e Ey respectivamente. Para se encontrar o campo elétrico, utilizou-se as seguintes equações:

, (8)[pic 12]

e . (9)[pic 13][pic 14]

A precisão com que os valores convergem pode ser dada pela variação fracionária do potencial

, (10)[pic 15]

sendo possível calcular os componentes do campo elétrico e os valores do potencial em matrizes, plotou-se os gráficos do potencial elétrico usando os comandos surf e shading plat e o comando quiver para plotar o campo elétrico.

Condições de contorno

O tamanho em cada barra foi definido como sendo o último dígito do RA de cada integrante. No caso em que o último dígito fosse 0, o valor utilizado deveria ser 1. Sendo assim a barra vertical, referente ao RA 170049, foi utilizada no projeto com tamanho 9u, e a barra horizontal, referente ao RA 170954, foi calculada com o tamanho de 4u.

O projeto foi realizado considerando, como condição de contorno, as bordas da grade iguais a zero e definindo um valor arbitrário para os pontos “vazios” (neste caso, foi utilizado potencial inicial equivalente a zero para esses pontos, pois foi verificado que era o valor que apresentava o menor número de iterações, deixando assim o programa mais rápido).

Desenho da grade em escala e identificação dos pontos

Foi definida uma escala para que a grade fosse desenhada, sendo está de tamanho 121x121. Além disso, foram identificadas as posições referentes a localização das duas barras e também das áreas “vazias” (sem condutores). Então, no software MATLAB, foram inseridas as informações que seguem:

Limpar memória

Foi utilizado o comando “clear all” para limpar a memória do software, o comando “clc” para limpar a tela de comandos e “close all” para fechar todas as figuras abertas, evitando erros de sobreposição de variáveis.

Definição das variáveis de entrada

Nesta etapa, foram atribuídos os valores para os parâmetros que seriam usados no programa. A variável “m” define a quantidade de pontos da grade na direção vertical ou horizontal, a variável “b” determina o valor do potencial inicial nos pontos internos da grade (com exceção dos pontos que contém os condutores carregados e a bordas definidas iguais a zero por condição de contorno). Por fim, a variável “a” representa o comprimento da aresta da malha.

Discretização com valores iniciais

Foram criadas duas matrizes de tamanho mxm, V e V1. A primeira contém todos os elementos iguais a “b”, enquanto a segunda é composta por zeros. Foi iniciado um loop (laço) com i (linha das matrizes) variando de 1 até “m”, utilizando o comando “for”. Em seguida, foi criado um vetor “y” para armazenar os valores de i.

Um segundo laço foi criado, desta vez variando os valores de j (coluna das matrizes) de 1 a “m” e o vetor x foi criado para armazenar os valores de j, conforme os valores do loop são atualizados. Dentro dos dois laços foram atribuídos valores para os potenciais nas bordas (que, como já foi definido por condição de contorno, tem potencial igual a zero). Para os pontos que continham os condutores, foram atribuídos os respectivos valores do potencial.

Cálculo do potencial por meio da média da vizinhança

Para a atribuição de valores para o potencial em cada ponto foi necessário definir a precisão desejada para os resultados, representada pela variável “erro”. Em seguida, foi utilizado o comando “while” para que o programa realizasse iterações até atingir um valor menor que o de “erro”. Dentro deste novo laço foi definido que a matriz V1 é igual a matriz V, ou seja, a cada iteração o valor da matriz é atualizado e armazenado. Isto leva à convergência dos pontos a um determinado valor.

O cálculo do potencial foi feito através da média entre os pontos imediatamente situados à direita, à esquerda, abaixo e acima (equação 7). Enquanto este valor for maior que a precisão escolhida as iterações irão continuar. É importante ressaltar que foi necessário atribuir um valor inicial para “erro” para que atendesse a condição do “while” e entrasse no laço. Além disso, um contador de iterações foi criado.

Ao realizar a média da vizinha, todos os pontos do interior da grade são atualizados. No entanto, apenas os pontos internos da grade que não tinham os condutores deveriam ser atualizados, uma vez que o potencial nos condutores é fixo. Assim, novamente foram fixados os valores dos potenciais nos pontos da malha que continham os condutores. .

A cada iteração o valor de “erro” é atualizado através da diferença de V e V1 dividido pelo V (equação 10). Ou seja, foi calculada a variação fracionária do potencial entre o valor antigo e o valor novo, e tomado o valor absoluto de tal diferença.

Cálculo do campo elétrico em todos os pontos da grade

Para o cálculo do campo elétrico foram criadas as matrizes e compostas inicialmente por zeros que irão armazenar os valores do campo nas coordenadas x e y, respectivamente. Novamente foi criado um laço, através do comando for, para percorrer todos os pontos da grade com exceção das bordas e atualizar os valores do campo elétrico. [pic 16][pic 17]

Este cálculo foi realizado a partir da equação 9, na qual indica que o campo é dado pelo módulo da diferença de potencial entre dois pontos consecutivos dividido por 2.

Gráfico do potencial V

Foi utilizado o comando “meshgrid” para criar uma grade 3D de tamanho m e o comando “surf” para plotar o potencial em todos os pontos da grade.

Gráfico do campo elétrico E

Para plotar o campo vetorial analisado foi usado o comando “quiver”, o qual exibe o gráfico em 2D com setas representando os vetores.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

A partir da implementação do código no software MATLAB, obteve-se o gráfico do potencial elétrico em todos os pontos da grade, exibido nas figuras 1 e 2, a