Atps Calculo

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5. PASSO 4 ............................................................................................................................................ 17

6. ETAPA 2 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO POR PARTES ...................................................... 17

6.1 PASSO 1 .......................................................................................................................................... 17

6.2 PASSO 2 .......................................................................................................................................... 18

6.3 PASSO 3 .......................................................................................................................................... 21

7. ETAPA 3 - CÁLCULO DE ÁREA PELA TEORIA DE INTEGRAIS ....................................... 21

7.1 PASSO 1 .......................................................................................................................................... 21

7.2 PASSO 2 .......................................................................................................................................... 22

7.3 PASSO 3 .......................................................................................................................................... 23

7.4 PASSO 4 .......................................................................................................................................... 27

8. ETAPA 4 - CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO ........... 27

8.1 PASSO 1 .......................................................................................................................................... 27

8.2 PASSO 2 E 3 .................................................................................................................................... 28

9. CONCLUSÃO ................................................................................................................................. 33

10. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................... 34

1. INTRODUÇÃO

Cálculos de áreas e muitas demarcações de terrenos na antiguidade, não eram figuras poligonais. Com o intuito de calcular essas áreas, foram desenvolvidos os estudos sobre integrais.

Em seguida, muitos matemáticos dedicaram seus esforços com intensão de desenvolver o conceito de integração já não mais somente com o objetivo inicial de calcular áreas.

E sobre esses matemáticos nosso grupo realizou uma pesquisa, alguns deles foram Newton-Leibniz, Cauchy, Riemann e Lebesgue os quais serão citados nesta ATPS.

Em sala de aula o professor Thiago Rincão citou:

- Integral definida;

- Soma Riemann;

- Teorema fundamental do Cálculo;

- Propriedades dos limites de Integração da Integral;

- Propriedades de Somas e Múltiplos Constantes do Integrando;

- Integral Primitiva e sua família;

- Construção de primitivas analíticas;

- Regras de Integração;

Entre outras até a elaboração desta ATPS.

2. PASSO 1

2.1. O SURGIMENTO DA INTEGRAL

O conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu no século XVII, à ideia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um sólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.) na antiguidade.

Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, não havia simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um “cálculo integral” sistematizado.

Devido a isto, os problemas que se punham eram os de calcular áreas, volumes e comprimentos de arcos.

Por exemplo: suponhamos dada uma função:

f: [a; b][pic 1] IR, limitada no intervalo [a; b].

Admitamos, por simplicidade, que f seja não negativa, isto é, f (x) ≥ 0, x IR . Consideremos o conjunto S={(x, y) IR²; a x b, 0 y f (x)}, formadas pelos pontos compreendidos entre os eixos das abscissas, o gráfico de f e as retas verticais x = a e x = b.

Qual a área deste conjunto?

Em primeiro lugar, é necessário dizer o que significa a “área” de S, e em seguida, tentar calculá-la.

A área de um subconjunto limitado S no plano IR² deve ser um número real.

Como defini-lo?

Podemos admitir que sabemos calcular a áreas de polígonos e tomar como aproximações por falta deste número as áreas dos polígonos contidos em S.

Isto equivale a pôr: a área de S é o supremo das áreas dos polígonos contido em S.

Poderíamos também considerar as áreas dos polígonos que contém S como aproximações por excesso para a área de S. Neste caso, definiríamos a área de S como o ínfimo das áreas dos polígonos que contém S. Porém, estes dois métodos de definir a área de S nem sempre conduzem a um mesmo resultado.

Ao considerar a área de um conjunto S podemos, por simplicidade, restringir nossa atenção a polígonos de um tipo especial, que chamaremos de polígonos retangulares, os quais são reuniões de retângulos justapostos cujos lados são paralelos aos eixos x = 0 e y = 0.

Mais particularmente ainda, se o conjunto S é determinado por uma função não negativa f:

[a; b] IR, de modo que S= {(x, y) IR²; a xb,0 y f (x)}, basta considerar os polígonos retangulares formados por retângulos cujas bases inferiores estão sobre os eixos das abscissas e cujas bases superiores tocam o gráfico da função conforme a figura 1.

[pic 2]

Figura 1 – Gráfico