As Series numéricas
Por: eduardamaia17 • 24/4/2018 • 1.265 Palavras (6 Páginas) • 241 Visualizações
...
Definição
Seja Sn a soma dos n primeiros termos de uma sequência {un}.
Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un = [pic 7] é chamada de Soma Parcial da sequência {un}.
Ao [pic 8], chamamos de Série infinita e representamos por [pic 9].
Se este limite existir, a série é convergente (converge), caso contrário, é divergente (diverge).
Exemplos
1. Série Telescópica: {un} = {[pic 10]}. Temos que [pic 11]= 0 e que[pic 12]= 2
2. Série Geométrica: {gn} = {1/2n}. Também [pic 13]= 0 e que [pic 14]= 1.
[pic 15]. Este resultado pode ser pensado como a soma de uma PG infinita de razão [pic 16].
( [pic 17]) . Logo [pic 18]
A série geométrica [pic 19] a ≠ 0 e r [pic 20] R
- Converge para [pic 21] se [pic 22]
- Diverge, se [pic 23]
Teste da divergência
- Se [pic 24] então [pic 25] é divergente
- Se [pic 26] então [pic 27]pode convergir ou divergir
Exercícios:
Verifique se as seguintes séries geométricas são convergentes e em caso afirmativo determine a sua soma :
1) [pic 28]
2) [pic 29]
3) [pic 30][pic 31]
4) [pic 32]
5) [pic 33];
6) [pic 34];
Séries de potências
Uma série de funções do tipo [pic 35]= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + ..., onde os coeficientes cn são constantes, é chamada de Série de potências.
Desenvolvimento em Sérias de Potências (MacLaurin)
Veremos, neste item, que “várias” funções podem ser expressas como uma série de potências.
Realmente, dada uma f(x) , queremos ter f(x) = [pic 36]= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + ...
Basta-nos encontrar, agora, os coeficientes cn necessários. Para isto, façamos:
f(x) = [pic 37]= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + ...
x = 0 ⇒ f(0) = c0 + c1 0 + c2 02 + c3 03 + c4 04 + ... = c0 ⇒ c0 = f(0) ;
f’(x) = [pic 38]= c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + 4c4 x3 + 5c5 x4 +...
x = 0 ⇒ f’(0) = c1 + 2c2 0 + 3c3 02 + 4c4 03 + ...= c1 ⇒ c1 = f’(0) ;
f’’(x) = [pic 39]= 2c2 + 6c3 x+ 12c4 x2 +20c4 x3 + 30c4 x4 + ...
x = 0 ⇒ f’’(0) = 2c2 + 6c3 0+ 12c4 02 +20c4 03 + 30c4 04 + ... = 2c2 ⇒ c2 = f’’(0)/2 ;
[pic 40]
Continuando este processo, teremos que cn = f (n)(0)/n! ;
Exemplos
Seno: Se f(x) = sen(x), então sen(x) = x - x3 + x5 - x7 + x9 + …± x2n-1 + ...
6 5! 7! 9! (2n-1)!
Cosseno: Se f(x) = cos(x), então cos(x) = 1 - x2 + x4 - x6 + x8 + …± x2n + ...
2 24 6! 8! (2n)!
Exponencial: Se f(x) = ex, então ex = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + …± xn + ...
2 6 24 5! n!
Séries de Taylor
É uma generalização da Série de Mac Laurin
Poderemos estar interessados em estudar uma função numa vizinhança de x = a, com a necessariamente não sendo zero.
Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio
[pic 41]
Exemplo
Logaritmo Natural: Se f(x) = ln(x) e a = 1, então ln(x) = (x-1) - (x-1)2 + (x-1)3 - (x-1)4 +…± (x-1)n + Rn+1 , 2 3 4 n
Exemplo: Vamos encontrar a série de Maclaurin para a função f(x) = ex
Solução:
Vamos escrever [pic 42].
Para isso precisamos da expressão [pic 43]. Sendo f(x) = ex temos que [pic 44] e portanto [pic 45]= 1. Logo, [pic 46]
[pic 47]∀ ∈ R
...