As Leis de Kepler

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[pic 40]

Deste modo, substituindo-a na equação (1.22):

[pic 41]

A equação (1.24) descreve a trajetória dos corpos celestes. Como mostrado no apêndice, se a excentricidade for , a órbita será de fato uma elipse tendo o Sol em um dos focos, como propõe a primeira Lei de Kepler.[pic 42]

Segunda lei de Kepler

“A taxa de formação da área definida pela trajetória, pelos vetores que unem os centros de massa do Sol e do planeta e um vetor fixo de referência é constante no tempo"

Na imagem abaixo vemos um sistema Terra-Sol. Nele mostra um deslocamento da terra em um período qualquer:[pic 43][pic 44]

[pic 45]

2- SISTEMA TERRA SOL- Imagem feita por compilador

A partir das propriedades de produto vetoriais já estudados anteriormente, vemos que a área do triângulo A destacado na figura acima é metade do módulo produto vetorial dos vetores Desta forma temos que:[pic 46]

[pic 47]

Sendo assim a área do triângulo é dada por:

[pic 48]

Adjacente a isso, temos que a variação da área percorrida em função do tempo é dada por:

[pic 49]

Fazendo um limite, na qual o tende a zero, temos:[pic 50]

[pic 51]

Ou seja, teremos com o desenvolvimento desse limite que :[pic 52]

[pic 53]

Dividindo e multiplicando por o lado direito da igualdade podemos a reescrevê-la como:[pic 54]

[pic 55]

Como já sabemos que o momento linear é o produto entre massa e velocidade, podemos reescrever a variação da área em função do tempo como:

[pic 56]

Como momento angular é dado por:

[pic 57]

Logo, podemos substituir (2.8) em (2.7):

[pic 58]

Como já explorado na primeira lei que não há variação do momento angular, ou seja constante, e também sabendo massa é igualmente constante ao longo do tempo, a variação da área em função do tempo é constante.[pic 59][pic 60]

Deste modo a partir do encontrado em (2.9) temos que os planetas varrem áreas iguais em tempos iguais.

Terceira lei de Kepler:

"A razão entre o cubo da distância média a do planeta até o Sol e o quadrado do período orbital é uma constante para todos os planetas"

Podemos usar a segunda lei de Kepler, mais algumas propriedades da elipse para definirmos a terceira lei. Sabemos que a área percorrida por um determinado planeta em um período será:

[pic 61]

Temos em mãos a segunda lei já definida:

[pic 62]

Assim podemos substituir (3.2 ) em ( 3.1) e já calcular a integral:

[pic 63]

Vamos relacionar a área encontrada com a nossa trajetória: Uma elipse. Sabemos que a área da elipse é , logo temos:[pic 64]

[pic 65]

Considerando que na elipse e , como demonstrado nos Apêndices, sendo a excentricidade, temos:[pic 66][pic 67][pic 68]

[pic 69]

E ainda, para a trajetória elíptica descrita pelos planetas, temos:

[pic 70]

A relação acima está demonstrada nos apêndices e . Logo podemos realizar as substituições ( i ) e ( ii ) em (4 ):[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

Assim é possível visualizar que o período da trajetória será proporcional ao cubo do semi eixo maior da elipse. No caso da Terra em que a excentricidade é muito pequena, podemos aproximar a trajetória por uma circunferência e assim enunciar:

“O quadrado do Período de rotação é proporcional ao cubo do raio da trajetória”

Conclusão

Através do programa Newtoniano foi possível obter as três Leis de Kepler. Esse resultado era esperado, pois o programa Newtoniano, que descreve a relação entre corpos, as forças atuantes, e o movimento em resposta a essas forças, é capaz de prever trajetórias e comportamentos do movimento dos corpos e, em particular, descrever a mecânica dos corpos celestes a partir da gravitação universal. Os próximos passos seriam de verificar se o programa newtoniano é válido em todos os casos, ou se há movimentos celestes não completamente explicados pela mecânica clássica.

Apêndices

CÔNICAS:

Uma cônica é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão entre as distâncias a um ponto fixo (foco) e uma reta fixa (diretriz) é uma constante.

Façamos O o foco e d a diretriz e M um ponto genérico da cônica a ser definida. Então MH será a distância do ponto genérico à diretriz e OM a distância do ponto genérico ao foco, como ilustra a figura a seguir.

[pic 75]

Figura 3- Componentes de uma cônica – elaborada em compilador

Então:

[pic 76]

Na equação (1) a letra grega é denominada de excentricidade.[pic 77]

Neste caso, vamos utilizar um sistema de coordenadas polares, com a origem posicionada no foco O. Então, considerando a figura (1) podemos escrever os seguintes comprimentos em coordenadas polares:

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